循序而進(jìn)，發(fā)展學(xué)生幾何思維水平
——以《角的初步認(rèn)識》教學(xué)為例

宋 慧 顧曉東

荷蘭學(xué)者范希爾夫婦提出了幾何思維水平發(fā)展的理論，他們認(rèn)為學(xué)生幾何思維水平各層次的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，若要成功發(fā)展到某一特定層次，必須先具備前一層次的概念和思維策略。這一理論啟示我們：教師在進(jìn)行小學(xué)幾何圖形認(rèn)識教學(xué)時必須找準(zhǔn)學(xué)生思維的起點(diǎn)，設(shè)計適合學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)過程，有層次地組織教學(xué)活動。

角是基本的平面圖形，“角的認(rèn)識”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的一個重要教學(xué)內(nèi)容。蘇教版教材二年級下冊編排了《角的初步認(rèn)識》，為第二學(xué)段深入認(rèn)識角打下重要的基礎(chǔ)，直接影響學(xué)生對于角的概念理解，更關(guān)系著學(xué)生能否從依據(jù)表象為主的直觀辨認(rèn)水平順利向依據(jù)特征為主的初級概念判斷水平的過渡。本文以《角的初步認(rèn)識》教學(xué)為例，在范希爾夫婦幾何思維水平發(fā)展的理論指導(dǎo)下，通過精心設(shè)計教學(xué)活動，使學(xué)生思維水平實(shí)現(xiàn)從直觀水平到描述水平進(jìn)而到演繹水平這三個層次循序漸進(jìn)的發(fā)展。

一、整體辨認(rèn)重具象，發(fā)展直觀層次幾何思維水平

范希爾夫婦認(rèn)為，處于“視覺”水平（水平1）的學(xué)生能“按照外觀整體印象來辨認(rèn)一些幾何圖形，直接將概念鏈接到具體模型，學(xué)生的推理由直覺主宰”。因此，在幾何圖形認(rèn)識的起始階段，需要引導(dǎo)學(xué)生基于概念的原型具象展開認(rèn)知活動，主動經(jīng)歷對幾何圖形具體形象的視覺感知，進(jìn)而初步建構(gòu)起幾何圖形概念的視覺表征。

【教學(xué)片斷1】

師：老師帶來了兩個圖形（如下圖），可是中間部分被白紙遮住了，請你猜一猜，這兩個可能是什么圖形？

生：三角形和長方形。

師：說一說你是怎么猜的？

生1：第1個圖形有3個角，所以它是三角形。

生2：第2個圖形有4個角，可能是長方形。

師：同學(xué)們猜對了，都關(guān)注到了這兩個圖形上有角，今天就讓我們一起來認(rèn)識角。

（板書：角的初步認(rèn)識）

師：為了研究方便，老師把這些角從圖形上取下來（如下圖），想一想一共能取下多少個角？

生：7個。

師：同學(xué)們看，這么多角！它們長得一模一樣嗎？但是它們都是角，說明它們肯定有——？

生：相同的地方。

師：請大家仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么相同的地方嗎？小組討論。

生1：都有個尖尖的地方。

生2：還有兩條直直的線。

師：這個尖尖的地方叫做角的頂點(diǎn)，還有兩條直直的線叫做角的邊。選擇一個角，把它的頂點(diǎn)和邊指給同桌看。

【思考】

低年級學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，且抽象思維能力較弱，學(xué)生往往對直觀形態(tài)的圖形或概念更容易理解。因而在“認(rèn)識角”的起始階段，如果能讓學(xué)生通過眼睛、手等各種感官來接觸、感知空間圖形的各種具體形象，將有助于他們幾何概念的直觀感悟與表象建構(gòu)。鑒于認(rèn)識角之前，學(xué)生已有整體認(rèn)識長方形、三角形、平行四邊形等“含角”平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，因此教師將長方形和三角形這兩個不同的平面圖形作為呈現(xiàn)角的直觀載體，讓學(xué)生充分依托原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，主動地在不同的平面圖形上找角，經(jīng)歷對角的形狀輪廓的整體辨認(rèn)過程，從而使學(xué)生將相對熟悉的平面圖形中的角與本課要認(rèn)識的角建立起直觀而牢固的聯(lián)系，進(jìn)而把新知識納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。學(xué)生在頭腦中初步形成了角的獨(dú)立具象，這為學(xué)生展開畫角、做角等后續(xù)活動提供了依據(jù)，使學(xué)生的思維發(fā)展水平順利達(dá)到視覺直觀化層次。

二、同中求異重特征，發(fā)展描述層次幾何思維水平

范希爾夫婦在幾何思維水平發(fā)展理論中指出，處于“描述”水平（水平2）的學(xué)生能“通過圖形的性質(zhì)來識別圖形并確定圖形的特征，能通過觀察、測量、搭建等活動，經(jīng)驗(yàn)性地建立圖形的性質(zhì)，并用日常生活的經(jīng)驗(yàn)用語將這些性質(zhì)描述出來”。值得注意的是，學(xué)生由“視覺”水平過渡到“描述”水平是極為不易的，這需要教師在日常教學(xué)中給予學(xué)生自主體驗(yàn)的機(jī)會，讓學(xué)生通過切身動手實(shí)踐，不斷獲得并豐富活動體驗(yàn)，進(jìn)而展開比較、分析等思維活動，逐步達(dá)到描述層次的幾何思維水平。

【教學(xué)片斷2】

師：現(xiàn)在我們來畫一個角，行嗎？看誰畫得又對又快。

師：同桌互相檢查一下，同桌畫的角對嗎？

師：你跟同桌畫的角一模一樣嗎？有什么不一樣的地方？

生1：大小不一樣。

生2：邊畫的長短不一樣。

生3：角的開口方向不一樣。

師：既然大家畫的圖形樣子各不相同，可你們卻認(rèn)為都是角呢？

生：因?yàn)樗鼈兌加幸粋€頂點(diǎn)和兩條邊。

師：大家總結(jié)得真好。把掌聲送給自己！

師：老師還為大家準(zhǔn)備了圓紙片、吸管和小棒。你們能親自動手做一個角，并指一指它的頂點(diǎn)和邊嗎？

生：能。

（學(xué)生動手操作，教師組織展示）

生1：我選擇了圓紙片，先把紙片對折一次，再對折一次，這就是我折的角。

生2：我把吸管對折，也折出了一個角。

生3：我是用兩根小棒釘在一起，這也是一個角。

生4：老師，這三種方法都可以折出角，我還有第四種折法。把吸管折一下，一邊長一些，一邊短一些，這也是角。

師：能跟大家說說理由嗎？

生4：角只要滿足有一個頂點(diǎn)和兩條直直的邊就可以了，不一定非要把吸管對折。

這位同學(xué)說完，另外一位同學(xué)馬上舉手補(bǔ)充介紹并展示：老師，圓片也并不是一定要對折，同樣也能折出角。

學(xué)生做出的各種角如下圖所示，接著教師再讓學(xué)生指一指自己所做的角中的頂點(diǎn)和邊。

【思考】

動手操作是學(xué)生認(rèn)識圖形，探索與圖形有關(guān)知識的重要方法和途徑。在學(xué)生建立角概念的第二個幾何思維發(fā)展水平層級中，教師還應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷畫角、做角等操作活動，引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較，經(jīng)歷由整體視覺直觀回歸具體形象，最終又復(fù)歸抽象描述的認(rèn)識過程。學(xué)生畫角的過程必然伴隨深入思考，將“角有一個頂點(diǎn)”和“角有兩條邊”這些零散的知識點(diǎn)進(jìn)行整合，同時也考慮角的開口方向可不同、角的邊可長可短、角可大可小，在多種變式中全面把握角的特征；而做角的過程中，學(xué)生比較容易感知“尖尖的地方是頂點(diǎn)”、“有兩條直直的邊”這兩個顯性要素，而容易忽略“角的邊可長可短”、“角的開口方向可不同”等這些隱性要素。在動手操作這個學(xué)習(xí)活動中，給學(xué)生準(zhǔn)備豐富的材料做角，學(xué)生利用豐富的材料多次實(shí)踐，不僅做出了兩邊長度一樣的角，也做出了兩邊長短不一的角。此時，教師提出“用語言描述、解釋”的要求，這是推進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要一環(huán)，學(xué)生通過自己的話語對所做圖形加以描述和解釋，雖然學(xué)生的語言比較生活化，但也能看出學(xué)生對圖形概念本質(zhì)的真正理解。通過畫角和做角活動，學(xué)生不僅能用語言歸納角的顯性特征，也能用語言描述角的隱性特征，可見學(xué)生頭腦中角的概念表征已經(jīng)變得清晰而鮮明，其幾何思維水平順利發(fā)展到描述、分析的層次。

三、趣味變式重推理，發(fā)展演繹層次幾何思維水平

范希爾夫婦指出，處于“非形式化的演繹”水平（水平3）的學(xué)生“能形成抽象的定義，區(qū)分概念的必要條件和充分條件”。學(xué)生學(xué)習(xí)和建構(gòu)幾何圖形概念，除了要感知、把握幾何圖形的基本形狀特征外，還應(yīng)進(jìn)一步關(guān)注幾何圖形內(nèi)部各要素之間的關(guān)系。針對學(xué)生偏重于單個要素的心理特點(diǎn)，教學(xué)中教師可以設(shè)計各種有趣的學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過想象和非形式化推理來深入把握圖形的內(nèi)在特點(diǎn)，從而促使學(xué)生幾何思維水平向“非形式化的演繹”層級發(fā)展。

【教學(xué)片斷3】

師：請所有同學(xué)拿出吸管，用你的巧手做一個角。

師：讓我們一起來給角做操吧，把角變大，再把角變小……

師：給角做操，你感受到了什么？

生：角有大小，可以變大也可以變小。

師：大家用吸管做角時，老師也做了三個大小不同的角。

（邊說邊放到黑板上，并各放一個小磁鐵，如下圖所示）

師：同學(xué)們一定喜歡玩滑滑梯，如果這三個當(dāng)作滑滑梯，你喜歡玩哪個？為什么？

生1：我喜歡玩第2個，第1個滑滑梯感覺是垂直的，不敢玩，會摔傷的。

師：為什么會有這種感覺？

生2：這個角角度很大。

生3：我也喜歡玩第2個，第3個滑滑梯角度很小，人不容易滑下去。

教師小結(jié)：同學(xué)們真聰明，原來滑滑梯中，角度大小的設(shè)計還有不少學(xué)問呢！

師：如果要改造一下，讓1號和3號滑滑梯也適合我們玩，能行嗎？

課件配合學(xué)生回答改變兩邊的長短，學(xué)生看到改變邊的長短達(dá)不到效果，需要改變兩邊張開的程度。

師：角的大小與邊的長短無關(guān)，與兩邊張開的大小有關(guān)。玩中有收獲，你們對角的認(rèn)識又進(jìn)了一步。

【思考】

對于角的顯性特征（有一個頂點(diǎn)、兩條直直的邊），學(xué)生認(rèn)識相對比較容易，而要認(rèn)識到“角的大小與兩邊張開程度有關(guān)”，則相對比較困難。如何突破實(shí)際教學(xué)中的這一難點(diǎn)，將學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)本質(zhì)？這就需要教師設(shè)計有意義、有趣味的數(shù)學(xué)活動來引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)感悟。在此環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了“滑滑梯游戲”，通過出示三種“變式圖形”，讓學(xué)生用自己的語言表述了第2個滑滑梯最合適的理由，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)直指角的大小的本質(zhì)，即角的大小與兩邊張開的程度有關(guān)。接著學(xué)生又試圖改造第1個滑滑梯和第3個滑滑梯，通過延長兩邊的長度，課件展示動態(tài)的變化讓學(xué)生直觀感受到角的大小與兩邊張開的程度有關(guān)，與邊的長短無關(guān)，從而使學(xué)生清晰地建立起角的大小的概念。“變式圖形”的呈現(xiàn)，幫助學(xué)生在非正式的推理和想象的過程中不斷拓展對概念內(nèi)涵的深刻認(rèn)識，豐富概念表象，不經(jīng)意間使學(xué)生的思維更上一層樓。