描繪思維軌跡理解演算原理
——以《兩位數乘兩位數筆算乘法（不進位）》教學為例

張超群

一、緣起：新思維課堂實踐的背景

“數學是思維的體操”，數學思維具有無窮的威力和令人心醉的魅力。張天孝老師說過，數學課程中的運算教學，不再是單純的技能訓練，而是把它作為解決問題的組成部分，把運算和問題情境聯系起來；不再是唯一的按標準程序運算，而是尋求合理簡潔的運算途徑，倡導算法多樣；強調不同運算方式解決問題，加強口算，重視估算。

在執教《兩位數乘兩位數筆算乘法（不進位）》這一課時，我經歷了學習、實踐、反思，利用點子圖來突破筆算乘法的算理。

二、思索：新思維教學目標的設計

三年級的學生還處于形象思維為主的階段，但他們也已經有了初步的邏輯思維能力，所以這一學段的教學應緊密聯系學生的現實生活，讓學生學習數學有直觀的表象支撐，在此基礎上進行小組合作，展開探索性的數學活動研究，并注重挖掘知識和積累經驗的過程，使學生從中獲得學習數學的愉悅體驗，感受數學知識的無窮魅力。

根據對新思維數學的學習和理解，我將兩位數乘兩位數的筆算乘法（不進位）這一課時的教學目標定為：

1.知識技能方面：學生通過小組協作、自主探究兩位數乘兩位數（不進位）口算和筆算的方法，將點子圖作為輔助，使學生更能理解筆算乘法算理，進而初步掌握算法。

2.過程與方法方面：通過小組討論，交流每個小組得出的獨特計算方法，感受兩位數乘兩位數（不進位）筆算方法的多樣性，提煉最優算法，從而進一步理解算理。

3.情感態度與價值觀方面：數學來源于生活而高于生活，讓學生感受數學與生活的內在聯系，增強學生自我探索的意識，獲得成功的喜悅，激發學習數學的興趣。

把教學重點確定為利用點子圖輔助理解兩位數乘兩位數（不進位）的算理，讓學生初步形成計算技能；教學難點為理解“用十位去乘”時得數的寫法及算理。

充分利用點子圖，讓學生自己建構兩位數乘兩位數豎式計算模型，在理解算理的基礎上，還能較好地掌握算法，親身體驗解決問題策略的多樣化，算法優化，且恰當地滲透轉化的數學思想方法。

三、操練：新思維教學過程的展開

片斷一：數形結合，嘗試探究。

題目：每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？你會計算嗎？把你的方法試著用點子圖表示出來。

師：你從這個題目中獲得了什么數學信息？要我們解決什么問題？

師：根據信息和問題，你能列出算式嗎？（板書：14×12）同學們都同意這個算式嗎？

師：這個算式和我們以前學過的乘法算式有什么不同？

揭題：今天我們就來學習《兩位數乘兩位數》。

1.估算。

師：你能先估一估可能是多少本書嗎？你是怎么估的？

生：14×12≈14×10=140；14×12≈10×12=120；14×12≈15×10=150。

師：想一想，用這樣的方法估算，得到的結果會比實際結果大還是小？說說你的理由。

生：140比實際結果小，因為把12看成10，其中一個乘數變小了，積也會變小；120比實際結果小，因為把14看成10，其中一個乘數變小了，積也會變小；150不能確定。

2.口算。

師：這道題的準確得數到底是多少呢？你能用學過的方法來解決嗎？把你的方法試著用《學習單》上的點子圖表示出來。

師：我們把每套14本，買12套，用點子圖來表示：每行有14個小圓點，表示一套書，有這樣的12排，也就是12套。請把你的計算方法在點子圖中表示出來。

（個別學生可能想不出如何轉化，教師可個別啟發引導：14×12表示12個14，我們能不能把12個14分開來算呢？比如先算10個14再算2個14，然后再合起來）

【思考：華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”所以用點子圖作為學生研究算理的素材，把數字用圓點來表示，幾個數字就用幾個小圓點表示，非常直觀，凸顯了乘法的意義，幾個相同的數相加用乘法計算的方法在圖上一目了然。所有的點子數相加就是計算的結果。引導學生觀察點子圖，將計算方法與點子圖有機地聯系在一起，從而使抽象的算理直觀形象地展示在學生面前，為學生掌握筆算乘法的算理做了充分的學習鋪墊。】

片斷二：數形結合，溝通聯系。

師：其實這些方法之中還有一種方法直接反映出豎式的計算過程。請你試著在《學習單》上用豎式計算14×12，但老師有個要求：在計算的時候，還是像剛才一樣，結合點子圖來解釋你的計算過程和理由。

（學生試做，教師巡視指導）

師：現在請跟著老師在點子圖上畫，找出28中的“8”和“2”的部分，8表示什么意思？2表示什么意思？

師：你能在點子圖上找到“4”和“1”的部分嗎？4表示什么意思？1表示什么意思？

師：168是怎么來的？為什么要把28和140加起來？

師：比較三個豎式，你喜歡哪一種？

師：我們再一起說一說14×12豎式筆算的過程。師：先用個位上的2和14相乘。

師：再用十位上的1和14相乘。一四得四，4寫在哪里？表示什么意思？

師：在十位下面寫4就表示4個十了。一一得一，1寫在哪？表示什么意思？

師：分別說一說28是怎么來的？14怎么來的？（板書：14×2 和 14×10）

師：1寫在百位，4寫在十位，就是表示14個十，也就是140。“0”可以省略不寫。

【思考：此環節通過學生小組合作交流、展示，教師引導，逐步將豎式、橫式及點子圖板書在一起，溝通三者之間的內在聯系。借助點子圖，找到了豎式計算中的 28=2×14，140=10×14，注重突破第二部分積的書寫位置這一教學難點，是用第二個乘數十位上的數去乘第一個乘數得到140，有14個十，積的末尾就要和十位對齊。正因為通過點子圖進行數形結合思想的巧妙滲透，它就像一座橋梁，把“冰冷”的口算、“神秘”的豎式算理緊密地聯系起來，在不知不覺中已經在自主地探索計算方法背后的算理了。既要知道結果，又要知道算理，還學會了用圖形幫助我們學習。】

四、升華：新思維教學研討的深入

對于學生來說，首次借助點子圖作為學習工具覺得很陌生。對于一個新事物，如果不是來自學習本身的需求，學生是不會選擇用它來幫助自己解決問題的。在這部分的學習中，點子圖要發揮的是輔助工具的作用，而不能成為學生學習的負擔。原以為點子圖用起來會很容易，實際操作起來才發現并不容易。有的學生只是無意識地在點子圖上劃分，有的劃分成相等的幾部分，有的結合豎式計算的過程進行劃分，還有的學生甚至能夠自主繪制出簡單的示意圖。小小的點子圖，刻畫出學生不同的思維軌跡。

數學是一門嚴謹的學科，只有鉆研教材，了解編者的意圖，才能設計出最佳的教學方案。為了更好地運用點子圖，我們反復推敲，幾經斟酌，深入到每一個細節。新教材注重讓學生自己探索，彈性較大，我們要結合學生實際情況，進行大膽的嘗試，靈活處理教材，最大限度地發揮自己的教學特色，努力尋找適合自己的教學平臺。