尊重已有經驗內化數學模型
——《搭配問題（二）》教學實錄與思考

張翼文（特級教師）

【教學內容】

人教版三年級下冊第101頁。

【教學過程】

一、復習引入，喚起經驗

1.談話交流，直接示題。

師：同學們，二年級時我們已經學習了“搭配問題”，今天我們繼續學習搭配問題。

2.復習舊知，激活經驗。

師：用“2、3、5”這三個數字能組成幾個數位上沒有重復數字的兩位數？你能又對、又快地完成嗎？

活動并匯報，教師板書：23、25、32、35、52、53。

師：你們為什么能又對、又快、又不遺漏地完成呢？

生：我是先確定“十位”，然后把另兩個數字分別放在個位，一共能組成六個兩位數。

師：如果先確定“個位”，然后把其他數放在十位，可行嗎？

生：可以的！

【設計意圖：以上簡要的復習回顧，其主要目的是喚起學生已有的活動經驗，為后面深入有效地進行數學活動鋪路搭橋。】

二、新知探索，有效建構

1.元素擴充，循序推進。

（1）出示問題，自主探索。

師：用“2、3、5、7”這四個數字能組成幾個數位上沒有重復數字的兩位數？

（2）匯報交流，展示成果。

師：這是一位同學寫出的數，大家判斷一下對不對。

生 ：23、25、27、35、57、37，數都是對的。

師：全部正確，能打滿分嗎？

生：不行！

師：為什么？

生：因為有遺漏！

（3）展示過程，強化思維。

師：誰能來說一說，你是怎么想的嗎？

生：通過定位十位（或個位），然后依次有序地把其他數字放在個位（或十位），這樣來完成。

根據學生表達，在原有作品上進行直觀圖示。

師：通過定十位或個位，然后把其他數字從小（大）到大（小）依次有序地放在個位或十位，這樣就能不遺漏、不重復地有序完成。（板書：定位 依次 有序 不遺漏）

【設計意圖：這個環節增加了一個數字元素，讓學生自主完成并交流，逐步讓以往積累的活動經驗進行無痕遷移，交流過程就是思維展示的過程，也是學生學習經驗的逐步調整過程。這當中通過教師的有意直觀圖示，幫助學生在腦中慢慢浮現出數學結構化的模型，為后面進一步提升經驗推波助瀾。】

2.調整元素，突出重點。

（1）成果展現，切中要點。

師：用“2、3、5、0”這四個數字能組成幾個數位上沒有重復數字的兩位數？

生：9個。

師：為什么剛才用四個數字可以組成12個，而現在卻只有9個呢？

生：因為0不能放在最高位十位上，所以少了三種。

師：因為0不能放在最高位十位上，所以以上三種情況不存在，這樣就少了三種。

【設計意圖：此環節是本課教學的重點，先讓學生自主完成，接著采取問題驅動的形式，讓學生產生認知沖突，切中要點，促使學生頭腦中自然浮現出數的搭配或組合的原始模型（即一個數在十位上，其他幾個數依次在個位出現的組合，其中0不能在最高位十位上）。】

（2）對比感知，充實經驗。

師：請同學們觀察由 2、3、5、7和 2、3、5、0 四個數字組成的兩位數，它們有什么相同與不同之處？

生：兩者相同之處：一個數確定在十位上，另外三個數依次在個位上，每組能組成三個兩位數。

生：兩者不同之處：后面四個數中有一個數是“0”，因為0不能在最高位上，所以就少了一組（即三個數），這樣前面有4×3=12（個），后面只有 3×3=9（個）。

師：誰能結合以上例子來說一說，前者的“4×3”表示什么意思？后者的“3×3”表示什么意思？

生：“4×3”的“4”表示有四個數，分別都可以在十位上出現，“3”表示當十位確定后，另外三個數與之可以組合成三個數（即一組三個），所以一共可以組成12個兩位數。

生：“3×3”的第一個“3”表示四個數中，其中一個為0不能在十位上出現，另外三個分別都可以在十位上出現，第二個“3”表示當十位確定后，另外三個數與之可以組合成三個數（即一組三個），所以一共可以組成9個兩位數。

【設計意圖：此環節先通過對比感知，讓學生清晰數的組成的數學模型。同時，順其自然地讓學生說一說算式中的數表示什么意思，讓學生進一步清晰數的組成模型，循序漸進地提升學生數學化的水平，逐步地讓學生思維走向深刻，數組成的結構模型也慢慢烙入腦海中。】

3．順勢而上，強化思維。

師：用“2、3、5、7、9”這五個數能組成幾個數位上沒有重復數字的兩位數？誰愿意說一組看看？

生：23、25、27、29。

師：以此類推，一共能組成幾個數位上沒有重復數字的兩位數呢？

生：4×5，一共是 20 個。

【設計意圖：此環節目的之一是鞏固以上思維方式，其二是數的組合模型進一步的擴張，以此提升學生的思維水平。】

4.解決問題，凸顯模型。

師：剛才同學們已經知道用“2、3、5、7、9”這五個數能組成 20個數位上沒有重復數字的兩位數。請同學們繼續思考：這些兩位數，如果從小到大排列，排在第17位的是哪個數？

師：這些兩位數，如果從大到小排列，排在第17位的又會是哪個數？

生：把20個數全部寫出來，然后從小到大或從大到小看一看，就可以解決了。

師：20個數字全部寫出來是一種辦法！如果不全部寫出來，你有辦法嗎？

生：可以這樣思考，當一個數確定在十位上，另外四個數分別在個位上，就能組成四個兩位數。如“2”在十位上，另外四個數與其組合可以這樣來表示（如下圖），這里從小到大前四組就是“4×4=16（個）”，接著就是第五組開始第一個，也就是第17個，這個數是92。

師：明白他的意思嗎？同桌互相說說。

【設計意圖：通過富有挑戰性的問題驅動，以及師生的互動交流，促使學生進行理性判斷與思考，并作出合理化選擇，自主地用數的組成結構模型來完成挑戰性任務，凸顯模型思想在解決問題中的重要作用。以此在課堂實踐中真正意義上落實模型思想，內化數學素養。】

三、強化練習，固本正源

1.把5塊巧克力全部分給小麗、小明、小紅，每人至少分1塊，有多少種分法？

2.按下面要求，用“5、0、7、6”這幾個數字寫出沒有重復數字的小數。

（1）小于1而小數部分是三位的小數。

（2）大于7而小數部分是三位的小數。

3. 用“2、0、9、5、3”這五個數能組成幾個數位上沒有重復數字的兩位數？

（1）這些兩位數，如果從小到大排列，排在第11位的是多少？

（2）這些兩位數，如果從大到小排列，排在第11位的是多少？

【設計意圖：練習設計應該體現一定的層次性和靈活性。其目的，一方面是夯實學生的基礎，基礎知識和基本技能是學生發展的根本，教學中不能淡化；另一方面讓學生的思維走向深刻，著眼學生的后續發展。】