死亡率變動相關性度量及其建模

王志剛，張國慶，張 巖

（內蒙古財經大學 統計與數學學院，呼和浩特 010071）

1 Age-Period-Cohort死亡率模型

人口問題的研究是社會、政治、經濟決策的基礎，歷來受到業界和學界的關注，其中死亡率預測模型作為人口預測的重要組成部分，一直是人口研究的重點。自1992年，Lee-Carter[1]提出第一個死亡率預測模型后，該領域產生了大量研究成果。這些模型由于主要考慮到了年齡（Age）、時期（Period）和出生年（Cohort）三個因素對死亡率的影響，因此這類模型被統稱為APC模型。

APC模型的主要研究成果包括Lee和Carter（1992）[1]提出的Lee-Carter模型及其擴展模型，以及Cairns等（2006）[2]提出的CBD模型及其擴展模型。影響最為廣泛的模型是Lee和Carter提出的Lee-Carter模型，具體表達式為：ln(mx，t)=αx+βxκt+εx，t，該模型包含了年齡和時間兩個成分。Renshaw和Haberman（2006）[3]在Lee-Carter模型基礎上增加了出生年因素得到相應擴展模型：ln(mx，t)=。Yang等（2010）[4]將Lee-Carter模型中的主成分項由一項擴展為兩項，得到多年齡項和時期項的Lee-Carter擴展模型CBD模型及其擴展模型也體現了相似的特征，包括Cairns等提出的原始CBD模型，以及增加出生年項和擴展主成分項的擴展CBD模型。

經過二十多年的發展，APC模型積累了大量研究成果，不過這些成果主要集中在提高單一總體死亡率的擬合效果上。而在研究跨國、跨區域、多組別的死亡率風險時，構建能夠定量描述多人群死亡率整體變動特征的多總體APC模型就變得必不可少,并有了一些有價值的研究成果[5、6]。此時細致考察多總體死亡率變動間的相關性，并以此為基礎建立多總體APC模型就非常有意義。如果在死亡率變動過程中，不同總體死亡率變動軌跡不具有相關性，此時通過使用單總體死亡率模型，并進行簡單加總就可以得到所需的結果，然而當死亡率變動過程中體現出相關性時，簡單的加總會產生對風險估計的偏差，因此死亡率變動相關性的考察是建立多總體APC模型的前提。

2 相關性研究

現實經驗告訴我們死亡率變動具有一定的相關性，為驗證該經驗，本文首先利用世界人口死亡率數據庫（Human Mortality Database，簡稱HMD）中的死亡率數據，對世界范圍內的死亡率變動過程中的共同趨勢和相關性做出研究，本文選取HMD數據庫中33個國家1985—2010年間的死亡率作為研究對象，觀察60歲男性與女性死亡率變動趨勢。結果表明，男性死亡率整體明顯高于女性死亡率，且男性死亡率變化幅度略大于女性死亡率變化幅度。1985—2010年間，33個國家男性與女性死亡率變動均表現出相同的下降趨勢，這表明33個國家的死亡率變動存在相關性。

雖然部分國家，如烏克蘭等國受到原蘇聯社會動蕩的影響，男性人口在2000年前后出現了死亡率上升的波動，但隨著社會變動沖擊逐漸減弱，此后這些國家很快再次進入死亡率下降趨勢中；同時，這些國家的女性死亡率數據中體現出更強的同步性，這印證了死亡率逆向波動源于社會動蕩的判斷。

此外，文中利用HMD數據計算了不同國家間的相關系數，相關系數矩陣也驗證了這一觀點，絕大多數國家的死亡率相關系數都高于0.8。并且一些國家間，死亡率相關系數超過0.95。因此，本文認為世界死亡率變動具有廣泛的、明顯的相關性，該結論和實際生活經驗相吻合，因此在模型建立過程中應該充分考慮相關性。

3 多元APE模型

3.1 研究回顧

針對死亡率模型變動過程中廣泛存在的相關性，國外學者開始對現有單總體死亡率模型的研究成果做出改進，在死亡率建模中引入相關性，進而構建兩總體以及多總體死亡率預測模型。為了將相關性納入模型，國外學者針對單總體模型做了以下兩種修改。學者首先嘗試利用兩者相關關系建立統一的死亡率估計模型對多總體死亡率進行整體估計。其中主要包括嘗試使用線性回歸對死亡率建模[5]和使用協整分析[6]對動態死亡率模型中的時間項進行建模。此外，Cairns等（2006）[2]針對一個總體及其子集總體，在假設子集總體的死亡率改善和總體死亡率改善間存在著一個固定比例關系的條件下，構建主人口和從屬人口兩總體死亡率模型。

這兩種研究方案都是在原有動態死亡率模型上增加了新的假設條件，并基于此構建了多元動態死亡率模型。本文逐一考察這兩個新增條件的合理性及其新增的約束。首先，在Yang等（2011）使用的回歸關系[5]和Darkiewicz等（2004）使用的協整分析[6]中，兩種方法都要建立回歸模型，而回歸分析通常是將因變量的變動看作為自變量變動的結果。本文認為不同地區或不同組別的死亡率變動都是由自身所處的經濟、社會及生物學特征所決定的，而不是由另外一個人口總體死亡率變動軌跡所決定的。因此，使用回歸方法對死亡率變動進行建模，相當于對死亡率變動過程中外加了一個沒有被驗證的，并且很可能是錯誤的外加條件。本文認為，死亡率改善進程中體現出的相關關系，應該是社會、醫療和經濟條件共同影響下的結果，雖具有相關性，但彼此之間不一定具有因果關系，所以本文認為在沒有被驗證之前，應該使用相關模型，而不是回歸模型描述兩者相關關系。

同時在使用協整分析工具時，針對兩變量和多變量使用的模型和處理難度具有明顯的差異，特別是多變量協整分析中使用的Johanson協整分析和VECM工具，需要針對不同數據進行有針對性的建模，模型使用者要在其中進行大量的參數選擇和模型設定，難度明顯高于兩變量的Engle-Granger協整方法和ECM工具，對模型使用者提出較高要求，不利于相關方法的廣泛普及。

在Cairns等（2011）構建主人口和從屬人口兩總體死亡率模型中要求大總體死亡率m1(x，t)和子集總體死亡率m2(x，t)的比保持不變，即要求C為常數。這無疑也增加了一個比較苛刻的前提假設。這也是Cairns將其模型使用范圍限定在一個總體是另外一個總體的子集的原因。即使在Cairns限定的條件內，該假設也是一個無法驗證的假設。

另一點值得說明的是，雖然這些方法使用了不同的假設去構建多總體動態死亡率模型，但這些模型的基礎——單總體動態死亡率模型，不是選用原生的Lee-Carter模型，就是選用Lee-Carter擴展模型（包括CBD模型研究團隊中的Cairns在構建多元死亡率模型時，也使用了Lee-Carter擴展模型），因此這樣看來，現階段多總體動態死亡率模型構建中的基礎模型都選用的是數據擬合效果較好、應用較為廣泛的Lee-Carter模型族。

3.2 相關性分解

與已有的多總體死亡率模型構建思路不同，本文不引入任何新建假設條件將相關性一攬子納入模型中，而是從APC動態死亡率模型構成因素（年齡、時間、出生年）入手，探尋這些因素對死亡率變動的影響，并進而將相關性納入到動態死亡率模型中，構建出多總體動態死亡率模型。模型選取帶出生年因素Lee-Carter擴展模型：

為了通過模型分解不同因素隨死亡率變動體現出的相關性，本文從HMD數據庫中選取了數據質量較好，分屬于三個不同大洲的澳大利亞、美國和日本三個國家作為示例。使用SVD方法分別針對三個國家的參數做出估計，并將估計結果繪制為折線圖（見圖1）。圖形顯示這些國家在兩個年齡項和一個時期項上存在著明顯的相關性，而同時在出生年項上并不具有明顯的相關性，同時使用統計相關性檢驗也支持該結論。據此，通過對數據的分析可以看出，死亡率變動過程的相關性主要體現在兩個年齡項和一個時間項上，據此構建相應的多元APC模型。

圖1 澳大利亞、美國和日本三國Alpha、beta、kappa、cohort折線圖

出生年因素主要體現了在死亡率變動過程中一代人具有與其他不同出生年人群，在死亡率上體現出的特有特征，會在殘差熱點圖中體現出明顯的積聚和規律性變動。文中給出美國人口殘差熱點圖（見下頁圖2），圖中顯示殘差分布并不是白噪聲，而是具有明顯的規律性。這種規律性也體現在澳大利亞和日本兩個國家死亡率殘差圖中（圖略）。因此，有必要在模型中增加出生年因素項，這也是本文沒有選擇原生Lee-Carter模型，而是選用增加出生年因素項的擴展Lee-Carter模型的原因。

圖2 美國人口數據殘差熱點圖①圖中使用了單色配色方案，顏色深淺主要體現出殘差絕對值的變動趨勢。實際問題中隊列效應帶來的殘差具有持續性，不會在正負之間大幅波動，單色圖也可以觀測到變動趨勢。可以聯系作者索取彩色圖。

3.3 多元APC模型

對于k個組別，多元的APC模型中只需要考慮年齡和時期兩個方面的相關性，對于出生年項不需要考慮其相關性對整體模型的影響。其中第一部分年齡項包括評價死亡率水平和死亡率改善系數，這兩個非參數估計值不具有外推性，同時相關性內置在了估計值中，因此非參數項和包括了死亡率隨年齡變動中體現出的相關性特征，相應的多元形態為：

在現有研究成果中，第二部分時間項通常項設定帶漂移項ARIMA(0,1,1)②雖然此處限定了kt項的具體表達式，但是后面的研究框架并不限于該情形，可以推廣到其他情形。的時間序列，即：

其中，i=1，2，...，k，本文將其相關性內置到時間序列產生機制的中，將et服從一元正態分布的假設擴展至多元正態分布：

至此，式（2）至式（4）構成包含不同組別死亡率變動相關性的多元APC模型。

3.4 應用

假設目標人群是一組由澳大利亞、美國和日本三個國家女性人口1：1：1混合構成，并且其死亡率變動特征與本國人口變動特征相同。在2010年，該人群加入一個為期30年的社會保障計劃，這組人群在該計劃內的平均停留時間及其分布可以使用上文介紹的方法加以估計。

根據前文的分析可知，三組人群的死亡率隨年齡波動具有相近特征，同時死亡率改善具有相似的軌跡，其中死亡率改善的相關系數矩陣分別為ρAU，USA=0.99,ρAU，JPN=0.96,ρUSA，JPN=0.98都是高度線性相關，再一次印證了使用多總體APC模型建模的必要性，相應的的分布為，使用隨機模擬的方法產生10000組樣本，基于模擬結果得到對未來該人群在計劃內的平均時間為14.42年，密度函數估計結果見圖2，為了和現有方案作比較，本文還計算了不考慮相關性情況下的平均時間為14.43年，兩種方法計算結果比較接近，差異主要源于樣本偏差和計算誤差。但兩種估計得到的方差估計結果和密度函數明顯不同（見圖3）。本文的方法考慮了不同總體間變動的相關性和死亡率變動的同步性，這種相關性會增加整個人群死亡率波動的方差，多總體APC模型考慮了這種相關性得到的密度估計函數方差更大，而獨立估計因忽略相關性，會低估方差。

圖3 兩種方法估計對比圖

4 結論

本文以死亡率變動的相關性為切入點，利用1985—2010年澳大利亞、美國、日本歷史死亡率數據，基于帶有出生年因素項的lee-carter擴展模型，建立了多總體APC模型，定量研究顯示：三個國家在兩個年齡項和一個時期項上存在著明顯的相關性，在出生年項上并不存在明顯的相關性；此外，充分考慮死亡率變動過程中相關性的多總體APC模型更加準確地展示了余壽的波動范圍，更符合實際情況。

為了將全球化背景下，死亡率變動具有相同的趨勢，納入到模型中，文中使用了澳大利亞、美國、日本三個分屬于不同大洲的國家，出于篇幅考慮，沒有將研究擴展到所有國家，但本文的研究框架可以適用于更多國家間死亡率研究，具有借鑒價值。

本文建立的多總體APC模型是對傳統APC模型的擴展，是長壽風險管理等相關問題的基礎，將為長壽風險的識別和量化、年金產品的定價、養老產品的設計、個體退休計劃的制訂、養老保障體系的完善等提供重要參考。