基于三角模糊數相似度的區間型組合預測模型

袁宏俊，杜 康，胡凌云

（安徽財經大學a.統計與應用數學學院；b.管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

0 引言

為了給決策者提供更有效更精確的預測數據，降低預測風險，可采用加權集成幾種單項預測方法構建組合預測模型，這樣可充分利用參與的每一種單項預測方法的有效信息。組合預測的方法最先由Bates和Granger提出[1]，隨后國內外學者進一步研究組合預測模型的理論和方法，取得了豐碩的研究成果[2-6]。早期的對象主要是針對實數序列的，雖然涌現出很多精確有效的組合預測方法，但是實際生活中廣泛存在模糊性預測問題，最近國內學者選取區間數取代實數，進而開展區間數預測[7]和區間數組合預測的研究[8-15]。張進[8]取區間數中心和半徑從誤差絕對值之和的角度，取區間數左右端點從向量夾角余弦和Theil不等系數的角度，構建三類多目標最優組合預測模型并討論了其有效性理論。王曉等[9]取區間數中點和半徑從誤差平方和的角度，利用IOWA算子和偏好系數的數據處理，構建變權系數區間型組合預測模型。朱家明等[10]利用UWPA算子，挖掘區間數據與區間數據彼此之間的相互影響程度，從誤差絕對值之和的角度，構建區間型組合預測模型。袁宏俊和張超[11]利用IGOWC-OWGA算子，將區間數轉換成實數，以向量夾角余弦為最優準則，建立變權系數區間型組合預測模型。曹曉俊和袁宏俊[12]利用IOWC-GOWHA算子，將區間數轉換成實數，以灰色趨勢關聯度為最優準則，構建變權系數區間型組合預測模型。袁宏俊等[13]取區間數的左右端點從誤差平方和的角度，利用IGOWLA算子和偏好系數的數據處理，構建變權系數區間型組合預測模型。朱家明等[14]利用ICOFWA算子，以誤差平方和為最優準則，構建三角模糊數為權重的變權系數區間組合預測模型。鐘梅和袁宏俊[15]將區間數的中點誤差和半徑誤差合并成組合預測誤差，進而定義區間數的灰關聯度并作為最優準則，從定權系數和變權系數兩個方面建立區間型組合預測模型。

在上述文獻中，針對區間數組合預測的問題，都是從區間數的自身、區間數轉換成實數、區間數轉換成聯系數這三種不同的角度，結合不同的準則公式以及引入不同的信息集成算子構建最優模型進行研究。與此不同，本文提出一種新的研究思路，首先將區間數轉換成三角模糊數，從而區間型組合預測問題變成三角模糊數的組合預測問題。借助于三角模糊數的度量指標作為最優準則，構建基于三角模糊數相似度的定權系數區間型組合預測模型。在此基礎上引入GIOWA算子，構建基于三角模糊數相似度的GIOWA算子的變權系數區間型組合預測模型，由于GIOWA算子中參數1取值不唯一，進一步討論參數λ取值變化時如何對組合預測模型中權系數、目標函數值、以及預測效果評價指標的影響，最后實例分析結果顯示所構建的兩類三角模糊數相似度的區間型組合預測模型都是合理有效的預測方法，都能明顯提高預測的準確性。

1 基本概念

定義1[7]：若兩實數滿足0＜a≤b，稱為正區間數。該區間數還可以表示為X=(c，r)，其中為區間數中點，為區間數半徑。

當a=b時，區間數即為普通實數。設兩區間數記為和，則：

定義 2[16]：若實數滿足，稱Y=為三角模糊數，其隸屬函數為：

當三角模糊數下限aL、上限aU、內部最大可能性數aM三者滿足aM-aL=aU-aM時，稱其為對稱三角模糊數，滿足aL=aM=aU時，三角模糊數即為普通實數。

定義3[17]：設GIOWAW:Rm→R為m元函數，W=

定義4[7]：設某一預測對象的實際值序列為預測值序列為，則稱：

定義5[16]：設有兩三角模糊數記為則稱：

為三角模糊數Y1和Y2的相似度。

三角模糊數相似度S(Y1，Y2)具有下列性質：

（1）有界性：0＜S(Y1，Y2)≤1

（2）對稱性：S(Y1，Y2)=S(Y2，Y1)

（3）自反性：S(Y1，Y2)=1當且僅當Y1=Y2

只證性質（1）：

不妨設 (aL)2+(aM)2+(aU)2＜(bL)2+(bM)2+(bU)2，則：

命題成立。

2 三角模糊數相似度的定權系數區間型組合預測模型

由于在不確定性預測問題中取得區間數內部點的可能性可以視為一樣的，則將區間數[a，b] 與三角模糊數進行相互轉化時，可采用一種簡便方法，即?。?/p>

這樣上述實際值序列可用三角模糊數表示為{Yt=(at，ct，bt)，t=1，2，…，N}，各單項預測值序列組可用三角模糊數表示為組合預測值序列可用三角模糊數表示為且有

定義6：令：

則稱Si(Yt，Yit)（i=1，2，…m）為實際值三角模糊數序列與各單項預測值三角模糊數序列的相似度；S(Yt，)為實際值三角模糊數序列與組合預測值三角模糊數序列的相似度。

因為：

顯然上式中S(Yt，)是參與的每一種單項預測方法權系數w1，w2，…，wm的多元函數，S(Yt，)在(0,1] 中取值越大則三角模糊數序列與相似的程度越大，當=1 有。由于預測中存在誤差，所以希望S(Yt，)越大越好，則可建立基于三角模糊數相似度的最優區間型組合預測模型為：

定義7：設實際值序列與各單項預測值序列的三角模糊數相似度中最小者和最大者分別記為，則：

若S(Yt，)＞Smax時，模型（1）是優性區間型組合預測；若Smin≤S(Yt，)≤Smax時，模型（1）是非劣性區間型組合預測；若S(Yt，)＜Smin時，模型（1）是劣性區間型組合預測。

3 三角模糊數相似度的變權系數區間型組合預測模型

模型（1）中各單項預測方法不論預測的好與壞，在每個時點處都是固定的權系數，這樣得到的組合預測值往往不是很精確。為了克服這樣的弊端，在每個時點處都以預測精度為衡量指標，預測精度好就賦予較大的權系數，預測精度差就賦予較小的權系數，每一種單項預測方法權系數會根據其預測精度不同而有所改變，這樣可得到變權系數組合預測值。

定義8：稱δit是在t時刻由第i種單項預測值相對于實際值的預測精度，則：

顯然 0≤δit≤1，i=1，2，...，m，t=1，2，...，N。

把單項預測值區間數的預測精度δit和單項預測值區間數所對應的三角模糊數Yit結合在一起，并取δit作為Yit的誘導值，利用定義3中GIOWA算子的集結數據的方式，構建第t時刻由GIOWA算子集結而成的組合預測值三角模糊數，則有：

根據定義6可得實際值序列與基于GIOWA算子的組合預測值序列的三角模糊數相似度具體為：

4 實例分析

為了驗證基于三角模糊數相似度的區間型組合預測模型（1）和模型（2）都是有效的組合預測方法，本文選取文獻[7] 中的數據進行實證分析，一方面驗證本文所構建的兩類模型是否有效，另一方面與已有文獻中的方法進行結果比對。具體數據見表1。

表1 實際值區間數、單項方法預測值區間數及等價的三角模糊數

（1）三角模糊數相似度的區間型組合預測模型（1）求解

將表1中實際值和三種單項預測值對應的三角模糊數序列代入模型（1）中解得最優權系數分別為：

利用上述權系數和各單項預測值區間數求得的組合預測值區間數見表2。

表2 模型(1)的組合預測值區間數和實際值區間數

（2）三角模糊數相似度的GIOWA算子的區間型組合預測模型（2）求解

利用表1中數據和定義8各時刻預測精度的公式，可得表3數據。

表3 各時刻三種單項預測方法的預測精度

在模型（2）中參數取值是λ≠0，這里隨機選取五種特殊的參數值，即λ=-5，λ=-1，λ=0.1，λ=1，λ=4 ，以表3中預測精度作為GIOWA算子中誘導值，代入五種特殊參數下模型（2）中解得最優權系數見表4。

表4 五種特殊參數的區間型組合預測模型的權系數

利用定義3和上述權系數，將各單項預測值區間數加權集結而成的組合預測值區間數見表5。

表5 五種特殊參數的模型（II）對應的組合預測值區間數、實際值區間數

（3）三角模糊數相似度的區間型組合預測模型（1）、模型（2）的有效性分析

根據定義4中各預測評價指標值計算公式，得出所有方法的預測效果評價指標體系表，具體數據見表6。

除了選取3種單項預測方法外，還選取了兩種文獻方法進行有效性對比驗證。由表6數據可以看出：

①從本文組合預測方法和單項預測方法的精度來看，本文提出的模型（1）和五種特殊參數的模型（2）的MSEP、MSEL、MSEI、MRIE等指標數值都遠小于所有單項預測方法相應的預測誤差指標值。

表6 預測效果評價指標體系表

②從本文組合預測方法和已有文獻方法精度來看，模型（1）和五種特殊參數的模型（2）的MSEP、MSEL、MSEI、MRIE等指標數值也優越于文獻[9] 和文獻[12] 中相應的預測誤差指標值。

③從定權系數組合預測方法和變權系數組合預測方法的精度來看，五種特殊參數的變權系數區間型組合預測模型（2）在MSEP、MSEL、MSEI、MRIE等指標數值都明顯優越于定權系數區間型組合預測模型（1）相應的預測誤差指標值，模型（2）雖然計算復雜，但是所得到的組合預測值會更加精確。

表7 各種預測方法與實際值對應的三角模糊數相似度

表7中羅列各種預測方法序列與實際值序列的三角模糊數相似度，判斷模型（1）和五種特殊參數的模型（2）是否是優性組合預測方法。從數據來看，兩類模型的組合預測值與實際值對應的三角模糊數相似度S都大于實際值與各單項預測方法對應的三角模糊數相似度S1，S2，S3，即有，依據優劣性定義7可知，本文構建的兩類基于三角模糊數相似度的最優組合預測模型（1）和模型（2）在實例分析中都是優性組合預測。

（4）三角模糊數相似度的GIOWA算子的區間型組合預測模型（2）的靈敏度分析

為了直觀了解三角模糊數相似度的GIOWA算子的區間型組合預測模型（2）中參數λ變化時，模型的最優權系數、最優目標函數值、預測效果誤差指標值是如何隨之變化，利用靈敏度分析來進一步研究參數λ變化對上述三個因素的影響情況，具體見圖1至圖3。

圖1 λ不同取值時三種單項方法所占權系數情況

圖1給出了參數λ在區間[-5，5] 上變動時有關權系數的變化情況。權系數w1在區間[-5，-4] 和[-3，5] 上遞增，在區間[-4，-3] 上遞減，且w1值均在0.5以上；權系數w2表現出上升和下降的交替變化趨勢，但總體的取值是減少的；權系數w3也保持著類似于權系數w2的交替變化趨勢，但總的變化幅度小于w2，對于三個權系數，w1始終是最大的，w2次之，w3最小，即在組合預測中第一種單項預測方法是主要的。

圖2 λ不同取值時目標函數值波動狀況

圖2給出參數λ在區間[-5，5] 上變化時目標函數值的變化情況。當參數λ取值在[-5，0.1] 和[1，2] 時保持上升的趨勢，在區間[0.1，1] 和[2，5] 時保持下降的趨勢，總體上呈現先增后減的變化趨勢，當λ=-5時目標函數值取得最小值。

圖3 λ不同取值時各誤差指標變化情況

圖3給出參數λ在區間[-5，5] 上變化時各誤差指標值的變化情況。其中誤差指標MSEP增減波動較為頻繁，上升和下降出現多次重復交替變化趨勢，在λ=-5時取最大值；誤差指標MSEL在區間[-5，-4] 和[-3，1] 上遞增，在區間[-4，-3] 和[1，2] 上遞減，在λ=5時取最大值；誤差指標MSEI圖形是指標MSEP與指標MSEL兩曲線的疊加，變化趨勢與指標MSEL曲線類似，在λ=5時取最大值；誤差指標MRIE在區間[-4，-3] 和[3，5] 上遞增，其他區間均是遞減的，在λ=-5時取最大值。

5 結語

目前區間型數據的組合預測研究還不是很成熟，有必要開展區間型組合預測理論和方法的研究。本文將區間數轉換成三角模糊數，利用三角模糊數相似度的度量指標刻畫兩三角模糊數序列的相似程度，構建基于三角模糊數相似度的定權系數和變權系數的區間型組合預測兩類模型，是全新的區間型組合預測方法。本文中以三角模糊數相似度作為最優準則，構建了定權系數區間型組合預測模型（1），隨后引入了GIOWA算子，構建了變權系數區間型組合預測模型（2），并對參數λ作出了靈敏度分析；最后通過實例分析力證兩類模型都是有效的方法，都能顯著提高預測的精度。但在兩類模型的分析過程中，沒有討論定權系數組合預測模型的冗余預測方法的判定，也沒有討論變權系數組合預測模型中所有參數變化時的規律，后期可進一步完善。