基于區(qū)間數的Spearman秩相關系數的多屬性決策方法

蘇麗敏，何慧爽

（華北水利水電大學 管理與經濟學院，鄭州 450046）

0 引言

屬性值權重未知的區(qū)間型多屬性決策問題是目前研究的一個熱點，一方面在多屬性決策問題中，屬性權重的確定直接影響著決策效果的好壞;另一方面在實際應用中，客觀事物的復雜性、不確定性以及人類思維的模糊性，使得決策者無法給出具體數值形式的決策信息，而區(qū)間數描述的信息可以更細致的刻畫復雜決策問題的不確定性、模糊性等。關于權重和區(qū)間數的處理方法的研究有很多[1-8]，但總有或多或少的計算復雜或主觀賦值等不足。

針對這兩個方面存在的問題，本文借鑒了已有的研究成果中將統(tǒng)計學中的相關系數和Spearman秩相關系數[9]等理論用于區(qū)間型決策問題中的想法[10-14]，給出了區(qū)間數的Spearman秩相關系數的表示形式及相應的性質。本文的思路是：首先給出區(qū)間數和Spearman秩相關系數的概念，在此基礎上給出區(qū)間數的Spearman秩相關系數的表示形式及其性質，然后根據區(qū)間型決策問題的方案集和屬性集，計算各方案與理想方案的Spearman秩相關系數，最后根據Spearman秩相關系數的大小得到方案的優(yōu)序排列。

1 區(qū)間數的Spearman相關系數

定義 1[15]：設 (x1，…，xn)是來自總體X的樣本，將xi按從小到大排序為。如果，則稱為xi的秩。

定義 2[15]：設是一來自變量X和Y的隨機樣本，將x1，…，xn和y1，…，yn按從小到大排序，則Spearman秩相關系數為：

式（1）中要求變量X和變量Y中的任意兩個值的秩都不相同，當然即使真的有某兩個值的秩相同，只要小于觀測值的個數n也是可以的，參看文獻[9] 。

顯然，Spearman秩相關系數具有下面的性質：

（2）如果A=B，則

顯然，S-相關系數具有下面的性質：

（2）如果A=B，則

特別地，當rs-ce=1時，表示變量A和B正相關，也就是當變量B增加時，變量A也增加;當rs-ce=-1時，表示變量A和B負相關，也就是當變量B增加時，變量A減少。

表1 變量A和B中各分量左區(qū)間的Spearman秩相關系數

表2 變量A和B中各分量右區(qū)間的Spearman秩相關系數

2 基于Spearman秩相關系數的決策方法

2.1 算法原理

設多屬性決策問題的方案集為A={A1，A2，…，An},屬性集為I={I1，I2，…，Im}.為了方便，這里屬性假設僅有成本型和效益型兩種。決策者給出方案Ai∈A在屬性Ij∈I下的屬性值為非負區(qū)間數。多屬性決策就是要在方案集中，選擇出一個最佳方案。

在單個屬性意義下,屬性的相關測度的度量值為兩個方案在某一屬性下的接近程度。顯然,屬性的度量值越大且相應的屬性數量越多,則說明兩個方案在相應屬性下越接近。因此，可選擇一個理想方案來衡量各個方案與理想方案的接近程度，以此判定各方案的優(yōu)劣。一般來說，單個屬性相對分散，僅以單個屬性的相關測度的度量值難以全面權衡方案的優(yōu)劣，故本文引入了Spearman秩相關系數的概念，其源于統(tǒng)計學，需要屬性的個數≥4[10]，這意味著至少綜合了4個屬性的信息，故若某一方案與理想方案的Spearman秩相關系數越大,則說明該方案的綜合評價效果最優(yōu)。

2.2 屬性值規(guī)范化處理

對效益型屬性值：

對成本型屬性值：

2.3 Spearman秩相關系數的計算

記：

根據式（5）確定理想方案，然后利用式（2）計算各方案與理想方案的Spearman秩相關系數，如表3所示。

表3 各方案與理想方案的Spearman秩相關系數

方案Ai的屬性值關于理想方案屬性值的Spearman秩相關系數rsi-ce的大小綜合反應了方案的優(yōu)劣。

2.4 決策算法

步驟1：利用式（3）和式（4），將用非負區(qū)間數表示的方案效果評價向量進行標準化處理,得到規(guī)范化后各方案的評價效果向量

步驟2：由式（5）確定理想方案的效果評價向量。

步驟3：利用式（2）將規(guī)范化后的各方案評價效果向量與理想方案效果評價值之間的Spearman秩相關系數。

步驟4：根據Spearman秩相關系數的大小對方案進行排序，Spearman秩相關系數越大，則對應的方案越優(yōu)。

2.5 實例應用

例1：某決策問題需考慮4個備選方案：x1，x2，x3，x4;5項指標（屬性）：u1，u2，u3，u4，u5，其中除了u5是成本型外，其余都是效益型指標,各指標的原始數據如表4所示。下面利用本文提出的方案進行決策，確定最優(yōu)方案。屬性決策問題的處理作了一定的補充和完善。本文提出的決策方法在問題的處理上既直觀又簡單,最后舉例說明該方法客觀合理,有效可行。

表4 決策矩陣

步驟1：由式（3）和式（4）將表4中的屬性評價值標準化處理,得到規(guī)范化決策矩陣,見表5所示。

表5 規(guī)范化決策矩陣

步驟2：由式（5）確定理想方案效果評價向量為：

步驟3：計算Spearman秩相關系數，得到：

步驟4：根據步驟3中得到的Spearman秩相關系數的大小，得到方案排序

3 結論

目前,對于屬性值為區(qū)間數,且權重完全未知的多屬性決策問題的研究是一個熱點,其主要的討論點在于區(qū)間數的處理，以及屬性權重的計算。本文引入了統(tǒng)計學中的Spearman秩相關系數，給出了區(qū)間數的Spearman秩相關系數的表示形式以及相關性質，一方面，將以區(qū)間數形式進行求解的問題簡化,避免了區(qū)間數在計算和應用時的復雜性,使得問題在技術解決上容易了很多;另一方面，將統(tǒng)計學的思想融入到決策問題中，根據Spearman秩相關系數的大小，得到方案的優(yōu)序排列，避免了屬性權重的計算,簡化了決策問題的求解過程，在某種意義上,可以說為多