GM(1,1)模型的改進現狀及應用

陳鵬宇，鄧宏偉

（內江師范學院 地理與資源科學學院，四川 內江 641100）

0 引言

灰色系統理論由我國學者鄧聚龍提出，經過不斷的完善和發展已經在許多領域得到了廣泛應用[1，2]。GM(1,1)模型作為灰色理論中最基本的預測模型，其建模原理簡單，易于操作。但是，傳統GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷，使其不具備白指數率預測無偏性[3]。正是由于該缺陷的存在，為GM(1,1)模型的改進留下了大量空間，從而涌現出了各式各樣的改進算法。如果避開所謂“灰色”、“累加”等概念，從本質上講，GM(1,1)模型屬于指數函數的一種建模方法，而各式各樣的改進算法無非是尋求一個最佳逼近結果或者最佳擬合函數。目前，GM(1,1)模型的改進算法繁多，各類改進算法的思路各不相同，建模的難易程度有所差異。為此，本文對GM(1,1)模型的改進現狀進行了總結，對比分析了各類改進算法的優缺點，最后給出了GM(1,1)模型改進算法的應用建議。

1 GM（1，1）模型的建模原理和缺陷分析

令x(0)為GM(1,1)模型的建模原始序列：

其一次累加序列為：

定義：

為GM(1,1)模型的灰微分方程，即GM(1,1)模型的定義型。式中，a為發展系數，b為灰作用量，

以最小二乘法確定參數：

式中：

GM(1,1)模型的白化方程為：

GM(1,1)模型的時間響應式為：

還原值為：

從GM(1,1)模型的擬合公式（8）可見其適合于近似齊次指數序列的建模分析。但是GM(1,1)模型不具備白指數率預測無偏性，這是由其固有缺陷導致的，具體而言就是白化方程與灰微分方程的不匹配問題，已經有許多學者從不同的視角對其進行分析，具體可見文獻[4] 中的總結分析，本文不在復述。除此以外，初始條件的選擇也常被認為是GM(1,1)模型一個缺陷，表現在兩個方面，其一是對累加數據的擬合函數（7）默認經過了初始點，與最小二乘擬合思想不符[5]；其二是一次累加算法使得還原函數（8）對初始值不存在擬合效果[4]，所以只能默認其等于初始值，這是不合理的。

2 GM（1，1）模型的改進現狀

GM(1,1)模型的固有缺陷主要是指白化方程與灰微分方程的不匹配問題及初始條件的選擇問題。相對而言，初始條件對擬合精度的影響一般不及前者，其改進方法也多是添加一個初始值修正項或以最小二乘原理求解最優初值[5，6]，本文不再詳述。針對白化方程與灰微分方程的不匹配問題，可以采用多種修正方法，主要總結為背景值構造的改進、白化方程參數重構、灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型），直接求解參數法。

2.1 背景值構造的改進

2.2 白化方程參數重構

背景值或灰導數的改進目的都是為了使灰微分方程與白化方程相匹配，當然也可以通過重構白化方程使其與灰微分方程相匹配，具體可通過重構白化方程的參數實現，重構依據同背景值的重構相似，即假設原始數據為離散指數序列。文獻[3] 給出了重構后的白化方程及參數表達式如下：

上述改進方法同樣可使GM(1,1)模型滿足白指數率預測無偏性，但是相對于背景值重構方法，該方法僅在原有建模步驟的基礎上，增加了參數轉換步驟，避免了復雜的改進算法。

2.3 灰微分方程建模

所謂灰微分方程建模即是以灰微分方程為基礎建立模型，而不再考慮白化方程，從而不再存在灰微分方程與白化方程不匹配的問題。灰微分方程（3）可寫為：

將上式還原即可得到擬合預測值。灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型）同樣可以滿足白指數率預測無偏性。

2.4 直接求解參數法

GM(1,1)模型實際上就是一種齊次指數函數擬合方法，但是由于其存在固有缺陷而無法擬合純指數序列，魏勇等[16]認識到了上述問題，建立了不涉及灰微分方程、白化方程概念，基于最小二乘法原理直接求解指數函數參數的方法，通過此方法建立的新模型不僅從理論上可保證是在滿足給定評價標準為模擬絕對誤差平方和最小、給定精度條件下的最優化模型，從而結束了灰色模型只有更優，沒有最優的歷史。但是，該方法需要通過編制計算機程序實現，求解難度高于其他改進方法。

式（11）成為離散GM(1,1)模型[14，15]，其遞推函數形式為：

3 應用建議

總結上述GM(1,1)模型的改進方法，以直接求解參數法的擬合效果最佳，但需要借助計算機編程實現，求解難度也是最大的。背景值構造的改進方法中，數值積分方法建立的背景值與加權背景值相比，表達式更為復雜，且需要借助插值公式，求解難度較大。加權背景值表達式簡單易懂，但求解最優權重需要采用迭代或搜索算法求解權重，具有一定的計算難度。離散GM(1,1)模型與傳統GM(1,1)模型建模難度相當，只是離散GM(1,1)模型求解的參數是β1和β2。白化方程參數重構只是在傳統GM(1,1)模型基礎上增加了參數轉換步驟，并未增加傳統GM(1,1)模型的建模難度。

以文獻[17] 提供的我國人均能源消耗量數據作為研究樣本，對上述四種改進方法進行對比分析。其中，背景值改進方法以Newton-Cores公式[9]為例。由于GM(1,1)模型對初始值不具備擬合效果[4]，為了合理的對比分析，在采用直接求解參數法時，擬合數據中排除初始值。以1998—2004年的數據建模，預測2005—2007年的數據，擬合和預測結果見下頁表1所示。

擬合精度的提高一直都作為評價GM(1,1)模型改進效果的依據，從最小二乘擬合原理出發，無論如何改進背景值構造都達不到直接求解參數法的擬合效果[18，19]，所以與其采用繁瑣的背景值構造方法，還不如采用直接求解參數法，雖然參數求解較為復雜，卻是最佳逼近結果。表2中的結果也驗證了上述觀點，從表2中可以看出，不論是以誤差平方和還是以平均相對誤差作為精度評價標準，直接求解參數法都是效果最佳的改進方法。其余三種方法均能在一定程度上提高擬合預測精度，僅背景值構造改進（Newton-Cores公式）方法并未降低擬合值的誤差平方和。由于許多背景值構造改進方法建模比較復雜，本文不推薦采用此種方法。白化方程參數重構、離散GM(1,1)模型所得結果均不是最佳逼近結果，就本文實例來看，白化方程參數法重構對擬合預測精度的提高更為明顯，更接近于直接求解參數法的效果。加之白化方程參數重構的建模原理簡單，本文推薦采用此方法。離散GM(1,1)模型建模原理相對簡單，對于近似齊次指數序列建模可以得到較好的擬合效果，實際應用中也可以考慮采用這種方法。

表1 我國人均能源消耗量擬合預測結果 （千克標準煤）

表2 我國人均能源消耗量擬合預測精度比較

4 結論

GM(1,1)模型是目前最常用的灰色預測模型。本文在大量已有相關研究文獻的基礎上從背景值構造的改進、白化方程參數重構、灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型），直接求解參數法四個方面對當前GM(1,1)模型的改進現狀進行了分析和總結。對比四種改進方法的建模難度和擬合精度，可見直接求解參數法擬合效果最優，但是建模難度最大；背景值構造改進方法大多較為復雜；白化方程參數重構、離散GM(1,1)模型建模相對簡單，實例分析結果顯示白化方程參數重構法與直接求解參數法擬合效果十分接近。因此，本文推薦采用白化方程參數重構法。