數學實驗設計及教學實踐研究
——以《整式的加減數學活動——日歷中的數學》的教學為例

◎劉小菲

2011年版《數學課程標準》指出：“要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，《基礎教育課程改革指導綱要》把“以學生發展為本”作為新課程的基本理念，這就要求教師除了要加強學生的基礎學習，還要提高學生的發展性學習和創造性學習，從而培養學生終身學習的愿望和能力。而數學實驗就為我們開展數學活動提供了一個有效的途徑。

一、數學實驗的意義及類型

數學實驗教學是讓學生通過自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程。在這過程中，教師通過提問引導和啟發學生學習研究數學問題的方法。在數學實驗教學中教師仍然處于主要引導的地位，而學生則處于主動學習的地位。初中數學實驗常分為驗證性實驗和探究性實驗。

驗證性實驗是通過實驗操作、觀察、記錄、分析等手段檢驗一個數學判斷或者結論真偽的實驗。驗證性實驗在學習完概念、原理之后，是對概念原理的分析和討論，一般用于驗證所給結論，實驗在一定程度上是結論的附帶。在實驗中，教師往往是引導者、評論者。

探究性實驗是通過實驗來探索、回答一個對學生來說尚不知道答案的數學問題，一般只提供實驗的課題。探究性實驗一般安排在概念原理學習之前，為發現、提出概念原理埋下種子，探究性實驗一般開始于一個有刺激性和探索性的問題，實驗的過程受未知探索結果的吸引，有利于培養學生的數學情感和數學態度探究性，培養學生的興趣，提高學習的積極性。實驗中，教師往往是傾聽者和提問者，教師和學生在探究實驗中遇到的挑戰較驗證性實驗多。

二、數學實驗的教學實例

以人教版七年級上第二章《整式的加減數學活動——日歷中的數學》為例。

1.制定合適的實驗目標 實驗目標的要基于《數學課程標準》，實驗目標的設定要注重操作性和思考性，教學過程不僅要注重教學的結果，更要注重知識形成過程中的思維方法的培養。基于以上要求，筆者將實驗目標定為學會用字母表示簡單問題中的數量關系；體驗運用方程解決月歷中一系列問題得過程，培養抽象、概括、分析問題、解決問題的能力；同時培養合作意識和合作精神。

2.設計合理的實驗過程 在正式上課之前，師生先來玩一個游戲，請學生在桌上的發的日歷上面圈出自己生日的日期，并且把與這個日期相鄰豎排的三個數的和告訴老師，老師有魔力知道你們的生日是哪一天。學生踴躍舉手發言，分別舉出和為27、9、54等例子，教師快速說出他們生日的日期分別是9、3、18。

設計意圖：通過游戲的方式引入，激發學生的興趣，體會到數學的神奇所在，利于接下來引領著學生們去揭示規律。

接著，教師帶領學生先熟悉一下日歷的排列規律，得出結論：橫行相鄰兩數相差1，豎列相鄰兩數相差7。

活動一：探索日歷上的相鄰三個數字的排列規律特征

問題1：相鄰的數有哪些排列情況？

學生很快就說出了日歷從行來看，是從左往右，依次遞增1；從列來看，從上向下，依次遞增7；從對角線來看，從左上向右下，依次遞增8.從右上向左下，依次遞增6。

問題2：能否用數學語言來表示規律？

學生想到了用字母來表示規律，但是如果假設字母呢？學生通過小組討論得出結論，設中間的數為a，故得出以下四種表達方式，分別是：

（1）行：a－1，a，a＋1；（2）列：a－7，a，a＋7；（3）對角線：a－8，a，a＋8或a－6，a，a＋6。

問題3：用其他方式表示這個規律嗎？

個別學生發言說，比如行可以表示為：a，a＋1，a＋2.教師接著提問覺得哪種假設未知數的方法好，學生回答設中間數為a的方式比較好，因為這樣兩個數與中間這個數的差距是相同的。教師總結日后設未知數有一個原則就是要使得表示其他數的時候能夠簡便一些。

問題4：觀察一下日期中相鄰三個數的和有什么規律？學生回答說是中間數的3倍，教師請學生上臺驗證，假設中間數為a通過計算發現無論是相鄰的三個數在哪個位置，它們的和都是3a。而針對其他假設方法而已，如果假設三個數為：a，a＋1，a＋2.，那么三個數的和為3（a＋1），也為中間數的3倍，但是運算量較之前的假設方式繁瑣，再次驗證了假設合理的未知數的必要性。教師接著問，這個規律對于其他的日歷能成立嗎？同學們一致認為成立，教師總結假設未知數表示規律的優勢在于能夠代表一般性。

最后，教師回歸引入的那個游戲，通過這個階段學生的自主探索，同學們自己也就揭秘了上課前的那個游戲所隱藏的規律。

設計意圖：日歷在學生的生活中還是挺常見的，所以他們能夠很快會文字表示出其中的排列規律，但是用字母來表示規律就是他們的難點了。因此實驗的設計是否合理非常重要，要讓學生覺得既熟悉但是又有興趣往下探索，教師在教學過程中，精心準備問題，設問層層深入，引導學生通過小組合作，觀察思考，自主探索的方式找到最佳的假設未知數的方法和解決問題的途徑，為接下來的探究做好了準備。

活動二：探索日歷圖3*3矩形框中9個數存在哪些規律特征。

問題1：探索日歷圖矩形框中9個數之和與該方框正中間的數有什么關系？

學生進行小組合作，自主探索。先利用實驗單中的特例，通過幾組計算得出，矩形框中的9個數的和等于正中間的數的9倍。

問題2：這樣的方框中9個數之間的存在怎樣關系？用代數式表示，并驗證。

有了之前活動一的學習，學生通過觀察思考，設好未知數，一般設中間數為a，那么9個數之間的關系如下：

同時，利用這個關系，學生們得出了這9個數的和是：（a－8）＋（a－7）＋（a－6）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋6）＋（a＋7）＋（a＋8）＝a－8＋a－7＋a－6＋a－1＋a＋a＋1＋a＋6＋a＋7＋a＋8＝9 a，所以證明了9個數的和為中間數的9倍。而且，這些規律對任何的日歷都成立。

教師總結探索規律的一般思路：觀察特例——猜想規律——表示規律——驗證規律。用符號（或字母）表示實際問題的一般規律，并用運算來驗證一般規律。

設計意圖：活動二是活動一的延伸，由于有了活動一的學習，活動二中基本都是學生自己思考探索得出的，教師更多起到了提問者和引導者的作用。通過了活動一和活動二兩個實驗，教師總結出了解決這一類問題的一般思路方法，就將整節課得到了一個提升，使得學生日后不僅僅只會解這一個題，還能解這一類題。

活動三：探索日歷中任意圈出2*2方格的四個數存在哪些規律特征。

學生根據剛才學到的方法進行小組合作探究，得出結論：圖1中的四個數分別可以表示為：a，a＋1，a＋7，a＋8；圖2中的四個數分別可以表示為：a，a＋1，a＋6，a＋7。

同時通過計算的出四個數中對角線兩數之和相等。

最后，教師讓學生自己設計其他形狀含有數字規律的數框。

設計意圖：這個活動是對之前兩個活動的應用，主要考察學生是否會學以致用。這個規律也跟之前兩個活動中的總結的規律有所不同，促使了學生拓展思維，學會自主觀察探索，提升自己總結歸納解決問題的能力。最后的自主設計，使學生自己成為設計者，將學生的想象力和今天的所學知識相融合。

三、數學實驗課例的幾點思考

數學實驗教學是初中數學教學的一個重要教學方式，教師主要起到傾聽者，引導者和提問者的作用，本節課中的結論基本上都是學生自己通過動手實驗得到的。數學實驗在教學中的作用體現在以下方面：

1、數學實驗有助于激發學生的學習的興趣 數學實驗教學一般會創設合理的教學情境，它是整個實驗的前提和條件，其目的就是要快速抓住學生的注意力，激發學生學習的興趣。在這節課中，筆者通過一個游戲的引入，游戲的背景也是今天上課的主要內容日歷，接著從易到難，層層深入，讓學生學會利用字母表示及證明規律，并且最后回歸了游戲，整個過程學生充滿著強烈的求知欲，最終自己總結出處理這類問題的一般步驟，為日后自主研究問題提供了思路和方法。

2、數學實驗有助于探索知識的形成，激發學生的創新思維 傳統教學過程中，往往隨著時間的推移，學生的興趣越來越弱，思維亮點越來越少。而數學實驗的模式是多種多樣的，可以時刻抓住契機，捕捉學生的亮點。本節課采取的小組合作實驗的方式，在這個過程中筆者精心準備問題，整節課主要分成三個活動，先是大家熟悉的3個相鄰數，然后是3*3矩形框中9個數，最后是跟上面兩個活動規律不盡相同的2*2方格的4個數，學生通過特殊例子中數與數的關系，猜想規律，并會用字母證明。最后設置一個拓展延伸，發展學生的創新能力，拓展學生的思維。整堂課有一種濃厚的學習氛圍，學生們掌握了研究問題的方法，并且能夠靈活運用在其他地方，加強了知識的理解。而這些效果是傳統的教學方式所不能達到的。

初中數學實驗教學能較大程度的發揮學生的主觀能動性，提高學生的動手動腦能力，可以開發課本的實驗素材，為學生提供所學的數學知識與已有經驗建立內部聯系的實踐機會，引導學生通過實驗操作，促進學生對數學知識的理解，體驗數學的價值和作用，發展學生的創新意識，最終提高學生的數學素養。