抽象能力的開始

馬天紅

[摘 要]小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是從直觀形象思維開始的，但隨著知識難度的增加，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對抽象思維的要求越來越高。教學(xué)中，如果教師從具體到抽象的轉(zhuǎn)換太快，學(xué)生學(xué)得就會很困難。只有循序漸進才能使學(xué)生易學(xué)易懂，而這個過渡和銜接的過程主要靠淡化直觀圖形的存在感來實現(xiàn)。

[關(guān)鍵詞]馬賽克；蘋果；抽象；模型；數(shù)量關(guān)系

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0051-02

2001年適逢課程改革，新教材給筆者的第一印象就像一本連環(huán)畫，圖片一幅接一幅，讓人目不暇接！與舊教材相比，新教材的插圖色彩鮮艷、畫面生動。到了2013年課程標(biāo)準(zhǔn)修訂后，蘇教版教材二年級上冊的插圖色彩更豐富、數(shù)量更多了。仔細閱讀這些插圖，讓人新奇的是，有些插圖打了“馬賽克”（如圖1、圖2），這在舊教材中是從未出現(xiàn)過的。為什么要打“馬賽克”？這樣做的目的是什么？

一、打了“馬賽克”的抽象作用

數(shù)學(xué)和所有科學(xué)一樣，都要以生活實際為依托，從真實現(xiàn)象中抽象出數(shù)量關(guān)系和虛擬的空間形式。數(shù)學(xué)的抽象過程不是一步到位的，需要借助具體情境循序漸進地抽象。

打了“馬賽克”的部分淡化了蘋果的物理直觀，突出了它在數(shù)量上的抽象表征意義。圖1將10個蘋果抽象成一根橫條，用稍長的橫條表征17個梨，將數(shù)量多少轉(zhuǎn)化為橫條長短。將此時的蘋果和梨作為普通水果的物理屬性（顏色、味道、大小、形狀）被淡化了，蛻變?yōu)橐粋€抽象的數(shù)學(xué)符號、一個數(shù)碼，它們的數(shù)量已經(jīng)被抽象為一根橫條。圖2與圖1有明顯區(qū)別，圖1擋住中間部分，兩端各露出半個蘋果，留下合理聯(lián)想的提示，幫助學(xué)生形成量感；圖2讓每個蘋果露出“上半身”，隱去“下半身”。目的何在？筆者以為這是為了直觀呈現(xiàn)4個2的運算基礎(chǔ)，揭示乘法的含義，將數(shù)量從實物中剝離出來。

線段圖可以直觀地揭示數(shù)量關(guān)系。如，教學(xué)“倍的認識”時，要求學(xué)生分別量出兩條線段的長度，并說說較長線段是較短線段的幾倍。又如，教學(xué)“解決兩步計算的實際問題”時，要求學(xué)生利用線段圖分析數(shù)量關(guān)系，并補充完成線段圖，引導(dǎo)學(xué)生慢慢學(xué)會繪制和運用線段圖。在新舊教材的對比中，筆者發(fā)現(xiàn)打了馬賽克的不僅是“蘋果”，還有更重要的。

二、打了“馬賽克”的量值大小

心理學(xué)研究表明，思維發(fā)展都是從直觀的形象思維過渡到抽象思維的，這個過程分為四個階段：初步感知、依靠表象、形象思維、抽象思維。教師必須先依靠學(xué)具、實物圖等感性材料，讓學(xué)生充分觀察了解，再逐步淡化實物、提煉抽象，從而概括出概念定理。如，新教材第一單元“100以內(nèi)的加法和減法（三）”中有一組習(xí)題。

觀察上面這組習(xí)題，稍加分析就知道是加減法計算的基本題型。三道習(xí)題分別考查的是兩數(shù)之差、多退少補、求比一個數(shù)多幾是什么數(shù)。除圖3隱約露出實物外，圖4和圖5就只有橫條了。對比這組圖片，可以發(fā)現(xiàn)都是用橫條的長短來刻畫數(shù)量的，長短與數(shù)量多少成正比，長橫條比短橫條多出的一截，既是差量又是較長橫條的局部。在一步步的抽象中，學(xué)生不僅學(xué)會了解答類似題型的方法，還更加深入地理解了減法的含義。

三、打了“馬賽克”的計算模型

學(xué)生思維的發(fā)展是一個漸進的過程，在抽象某些概念的過程中，仍能看到直觀思維的影子。具體感性的素材在大腦中留下印記，形成表象，再抽象概括成理性思維。新教材分布在第三、六單元中的另一組習(xí)題就體現(xiàn)了不同的思維階段。

這組習(xí)題是典型的乘除法計算，詳加查看就能發(fā)現(xiàn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)。圖6中的8個蘋果都只露出一部分；圖7只在第一截橫條中標(biāo)明★號，其他橫條一律空置；圖8的橫條中沒有任何填充物，只是在括弧線上旁注了球形圖標(biāo)。這種編排順序是為了展現(xiàn)“實物—半實物—圖形”的抽象過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“完全直觀—局部抽象—整體抽象”的思維過程，逐步把實物抽象為數(shù)學(xué)字符，加強了客觀現(xiàn)實與抽象理論之間的聯(lián)系。

乘除法都可以概括為“幾個幾”，如果求總數(shù)就用乘法，如果求份數(shù)或者個數(shù)就用除法。優(yōu)等生能夠在這種反復(fù)的抽象活動中聯(lián)系前后知識，建筑自己的知識大廈；學(xué)困生遇到這樣的題型，也能形成一些抽象認知。如，看到—截橫條里包含3個★，就能推理出每截橫條也都是這樣。又如，由每段橫條的長度一致，判斷出每段橫條里含有的[○]數(shù)量相等。

兩組習(xí)題都是從實物一步步漸漸抽象成橫條的，大同小異的橫條背后隱藏著迥然不同的信息。第一組習(xí)題反映的是部分與整體之間的大小關(guān)系，第二組習(xí)題反映的是倍數(shù)關(guān)系。對比發(fā)現(xiàn)，橫條可以表示等量和不等量，也可以刻畫倍數(shù)或者量差關(guān)系，有了這樣的比較、抽象、概括之后，學(xué)生理解起來就會更加透徹。

數(shù)學(xué)的抽象可以看作一種重組活動，這種活動站在原有知識的高度上構(gòu)筑新的認知。正如布魯納所言，兒童接受數(shù)學(xué)概念是一個線性過程，從動作到圖像最后再抽象成憑空推理。在動作表征中，兒童的思維必須依賴實物進行直觀操作，圖像表征則是撤銷實物后的殘留印象繼續(xù)進行的思維活動，當(dāng)達到抽象思考的境界時，學(xué)生就可以運用數(shù)學(xué)符號來演示純理論活動。因此，在培養(yǎng)低年級學(xué)生的抽象能力時，教師要由淺入深、循序漸進。

（責(zé)編 李琪琦）