高中數學中有關直線或圓的兩解問題

周 寅

（福建省福州文博中學，福建福州 350000）

引 言

在高中數學“直線與圓”這一章節中，許多題型在兩解范疇內，因此，選擇合適的解題策略至關重要，其中，解題答案的完整性，更是這一章節的重點[1]。從學生的實際解題情況可以看出，大部分學生解題答案缺乏完整性，缺少兩解或在兩解中取舍不正確等問題普遍存在。

一、直線兩解問題

在直線的兩解問題中，需要格外注意截距問題和點線距離問題，這是高考的考點。

（一）截距問題

截距問題又可以分為截距相等或截距成倍數關系等情況。

1.截距相等

【第一題】設直線過定點P（2，3），且與x 軸的截距和y 軸的截距相等，求直線方程．

解析：首先，由于直線過P（2，3），可設該直線方程的表達式為y-3=k（x-2）；其次，求解該直線的橫截距和縱截距，當y = 0，該直線的橫截距為當x=0 時，該直線的縱截距為3-2k；最后，根據題目條件，橫截距與縱截距相等，即求解得知或k = -1，然后將k 的值代入直線方程表達式中，即得到3x-2y=0 或x ∣y-5=0．

【第二題】設直線過定點P（-5，2），且該直線的橫截距與縱截距相等，求直線方程．

解析：該題可討論直線過原點或者不過原點兩種情況。第一，當直線經過原點時，可設直線方程為y = kx，將P 點代到該直線方程中，即得，所以直線方程為2y+5x=0．第二，當直線不經過原點時，可設直線方程為，將P 點代入直線方程中，可得a = -3，所以該直線方程為x+y+3=0．綜上所述，該直線方程的表達式為2y+5x-0 或x+y+3=0．

學生在求解截距相等的直線問題中，通常情況下只會得出一種答案，而忽略了一種特殊情況，即截距為零。學生在求解這類問題時，必須深刻理解截距的概念，并且區分截距與距離的不同，距離只能為正數或零，但是截距可以取值為負數、零以及正數。所以，在解題時，學生必須針對不同情況下的截距取值展開討論。

2.截距成倍數關系

【第三題】設直線經過點P（-2，2），且橫截距是縱截距的2 倍，求直線方程．

解析：在求解這道題目時，學生要考慮到縱截距可能為零的情況。假設橫截距為a，縱截距為b，第一種情況，考慮縱截距為零的情況，此時假設直線方程表達式為y = kx，將點P 代入該方程表達式中，可以求解得知k = -1，所以直線方程為y = -x．第二種情況，即縱截距不等于零，此時可得到直線方程表達式為x+2y-2=0．綜上所述，直線方程表達式為y=-x或者x+2y-2=0．

學生在求解這類截距問題的過程中，往往未能全面考慮橫截距或縱截距可能會存在等于零的情況。如果學生采用的方式假設直線方程時，只能得到一種解，而忽略了直線有可能會經過原點的情況。所以，學生在求解這類截距問題時最好采用點斜式，這樣才能夠保證答案的完備性。

（二）點線距離問題

【第四題】設直線過點P（2，-5），并與點A（3，-2）和點B（-1，6）的距離相等，求該直線方程．

解析：求解這道題目也存在兩種情況。第一，AB 兩點在直線的同側，即直線的斜率與直線AB 相等，兩直線平行，可得直線的斜率為k = -2．第二，AB 兩點在直線的異側，即直線經過AB 線段的中點（1，2），此時可以求解得到直線的斜率為k = -7．所以，該問題中的直線有兩條，即直線方程表達式分別為2x+y+1=0 和7x+y-9=0．

學生在求解這類距離問題時，往往未能全面考慮兩點與直線的位置關系。所以，學生在求解這類距離問題時，一定要分類討論。

二、圓的兩解問題

圓是一種特殊的圖形，不僅是軸對稱圖形，同時還是中心對稱圖形，具有很多非常特殊的性質。由于圓具有多方面特殊性，因此，在關于圓的題型中，經常會遇到一些題目較難或存在很難思考到的點，兩解問題更是非常普遍。

【第五題】已知圓O 的內接三角形ABC，其中BC 邊的長度為4，B 點到圓心O 的距離為4，求角A 的度數．

解析：在求解該問題時，A 點可能在BC 弦所對的優弧或劣弧上面。因此，應該分成兩種情況進行討論。第一種情況，假設A 點在BC 邊所對的優弧上，此時可以分別連接OB 和OC，并從O 點引直線OD，使其垂直于邊BC（如圖1），即可以得到BD=2．因此，在RTΔODB 中，OB=4，DB=2， 所 以，∠BOD=30°，∠BOC=60°，所以可知∠BAD=30°．

第二種情況，即考慮A 點在BC 弦所對應的劣弧上（如圖2）。此時，同樣可以求解得到∠BOC=60°，所以由弧的關系，可以得到∠BAC=150°．

學生在求解這類問題時，只會想到圓心在ΔABC 內，忽略了圓心有可能位于ΔABC 外。

【第六題】假設圓A 的半徑為4，且該圓與另一個圓B 相切，其中，圓B 的方程表達式為x2+y2-4x-2y-4=0，同時，該圓與直線y=0 也保持相切的關系，求圓A 的方程表達式．

解析：在求解該圓的方程表達式時，首先設圓A 的方程為（x-a）2+（y-b）2= r2，由于圓與直線y = 0 相切，即圓與x 軸相切，且該圓的半徑為4，可得b = 0，r = 4，則圓A 的圓心坐標存在兩種情況，（a，4）或（a，-4）．由于該圓與圓B 相切，而圓B 的圓心坐標為（2，1），半徑為3．要將相切分為內切和外切兩種情況討論，所以兩者圓心距離為1或7．當圓心為（a，4）時，此時（a-2）2+（4-1）2= 72或者（a-2）2+（4-1）2= 12（無解），此時可解得同理，當圓心坐標為（a，-4）時，解得

圖1

圖2

學生在求解這類問題時，往往會忽略兩個方面，第一個方面，學生想到圓心在直線x 軸的上方的情況，卻忽略了圓心有可能位于x 軸的下方，忽略存在圓心坐標為（a，-4）的情況；第二個方面，學生僅想到外切，卻忽略了內切的情況，導致解答得出的答案缺乏完整性，不夠全面。

結 語

綜上所述，在高中數學直線或圓的問題中普遍存在兩解的問題，在求解直線截距問題時，必須考慮截距可能等于零的情況，以及該直線經過原點或不經過原點兩種情況，并且在假設直線方程式時學生應該盡量選擇使用點斜式方程。在計算點與直線距離的問題時，學生應該充分考慮直線與點平行、直線過點等情況。在圓的問題上，學生要多考慮圓與其他圖形是否會存在多種不同的情形等。學生必須加大對此類問題的重視程度，做到考慮全面，以保證答案的完整性。