培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識　推動數(shù)學(xué)問題解決

郭青春

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法和思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程而逐步理解和掌握的。”這樣的描述，一方面說明了這些內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中有較高的價值和意義，另一方面說明這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)需要長期的積累和領(lǐng)悟，需要提供給學(xué)生好的學(xué)習(xí)平臺。比如說，數(shù)形結(jié)合的思想在解決數(shù)學(xué)問題中有重要作用，但是如何讓學(xué)生認(rèn)可這種方法，讓學(xué)生能夠獨立嘗試用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，是我們應(yīng)該長期努力的目標(biāo)。在實際教學(xué)中，可以著力于以下幾個方面來推進數(shù)形結(jié)合。

感知數(shù)形結(jié)合的作用

讓學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合的作用，是滲透思想的第一步。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要經(jīng)常展示運用形來解決數(shù)的領(lǐng)域問題和運用數(shù)來探索形的領(lǐng)域問題的案例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者之間的緊密聯(lián)系，并感知到方法的巧妙，從而養(yǎng)成學(xué)生運用方法的愿景。

例如，在“轉(zhuǎn)化的策略”教學(xué)中，筆者首先呈現(xiàn)出“? +? +? +? ”這個算式，讓學(xué)生自己嘗試計算。學(xué)生們不出所料地采用通分的方法來計算，在給予肯定之后，筆者提出了新的提議：“能不能畫圖表示出這些分?jǐn)?shù)？”然后和學(xué)生一起在一個正方形中表示出這些分?jǐn)?shù)。在畫圖的時候，學(xué)生們逐漸發(fā)現(xiàn)了奧秘，每一個分?jǐn)?shù)都將原來的空白處填滿了一半，所以計算這些分?jǐn)?shù)的和可以用1減去圖中空白的部分，也就是減去最后一個分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律之后，學(xué)生們非常興奮，他們對于這種數(shù)形結(jié)合來解決問題的方法立即有了親近感。再比如，在“一一列舉策略”的教學(xué)中，對于給定了長方形的周長，尋找如何才能使得圍成的長方形面積最大的問題，學(xué)生們首先是畫出示意圖，然后計算出各個圖形的長和寬以及面積，在對比這些數(shù)據(jù)的時候，他們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：長和寬越接近，長方形的面積最大。在這個問題的探究中，學(xué)生對于用數(shù)據(jù)來輔助分析問題的好處有了深刻的認(rèn)識，這對于推動學(xué)生自覺運用數(shù)形結(jié)合的方法有很大幫助。

嘗試數(shù)形結(jié)合的方法

數(shù)形結(jié)合不僅是一種解決問題的方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。在實際教學(xué)中，我們需要給學(xué)生嘗試數(shù)形結(jié)合方法的機會，讓學(xué)生在不斷探索中增強畫圖的能力，從而降解問題的難度，順利地解決問題。在這個過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力會不斷提升，數(shù)學(xué)思想也在長期的實踐中鞏固起來。

例如，在“按比例分配”的教學(xué)中，筆者給學(xué)生帶來這樣一個問題：“學(xué)校體育室買來籃球、足球和排球一共85個，已知籃球和足球的比是1：2，足球和排球的比是3：4，那么買來的籃球、足球和排球各有多少個？”面對這個問題，不少學(xué)生有些無從下手，因為在籃球和足球的比中，足球是兩份，而在足球和排球的比中，足球是三份。在他們感到困惑的時候，筆者提示可以畫圖來輔助分析，于是他們自己去嘗試畫示意圖。在畫圖時，學(xué)生確定了盡管在兩個比中足球的份數(shù)不同，但是足球的數(shù)量是相同的，這就讓他們將視角放在足球上;經(jīng)過獨立思考和集體交流，她們發(fā)現(xiàn)了解決問題的關(guān)鍵——可以運用比的基本性質(zhì)將足球的份數(shù)統(tǒng)一起來。于是，他們將兩個比轉(zhuǎn)化為3：6和6：8，得到了三種球的數(shù)量比是3：6：8，從而順利地解決了問題。還有的學(xué)生在畫圖之后發(fā)現(xiàn)，可以找到籃球和排球與足球的關(guān)系——籃球是足球的二分之一，排球是足球的三分之四。這樣可以立即計算出足球的個數(shù)，從而算出其余兩種球的數(shù)量。

在這個案例中，學(xué)生以線段圖為抓手，成功地找到了3個未知量之間的數(shù)量關(guān)系，這為他們解決問題打好了鋪墊。這樣的自主嘗試，讓學(xué)生體驗到數(shù)形結(jié)合方法中的關(guān)鍵之處，提升了動手能力和分析能力，推進了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

總結(jié)數(shù)形結(jié)合的策略

直觀圖形可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識問題，把握數(shù)量關(guān)系，從而為學(xué)生順利地解決問題服務(wù)。在數(shù)形結(jié)合的時候，我們要讓學(xué)生抓住關(guān)鍵點來推進數(shù)形結(jié)合，要讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的基本方法，形成固定的運用策略，這樣可以上升學(xué)生對數(shù)形結(jié)合方法的認(rèn)識。

例如，在教學(xué)“納稅問題”時，筆者給學(xué)生帶來了這樣一道較復(fù)雜的問題：“國家頒布了個人所得稅繳納標(biāo)準(zhǔn)：低于3500元的，免征個人所得稅;超出3500元的部分，不超過1500元的部分稅率為3%;超過1500元到4500元的部分，稅率為10%;超過4500元到9000元的部分，稅率為20%……小強爸爸的稅前工資為8000元，那么他每月繳納的個人所得稅為多少元？”問題中的信息很多，學(xué)生需要弄清條理才能找到突破口。所以，在教學(xué)中筆者首先讓學(xué)生獨立思考，想辦法理出解題思路;在集體交流時，不少學(xué)生展示了自己畫的線段圖，他們畫出一條長長的線段，在靠左的地方首先標(biāo)出3500元，然后再隔一段距離標(biāo)出5000元（學(xué)生用3500+1500得到的），依次向后是8000元和12500元，在每小段線段上，學(xué)生還標(biāo)上這一段的稅率。有了這么直觀的線段圖，學(xué)生再來解決題目中的問題就比較輕松了。只要找到這個數(shù)在哪一段上，然后就可以將這個數(shù)分成幾小段，分別按照對應(yīng)的稅率計算出這一段上需要交納的個人所得稅，相加求出總和就可以解決問題了。在傾聽了學(xué)生代表的方法之后，大家一致認(rèn)同這種方法，并且對照解題思路，交流了畫出這樣一個線段圖的方法。

在這個案例中，學(xué)生借助于圖形來分析問題，理清數(shù)量關(guān)系，這為他們順利解決問題提供了很大的幫助。更加重要的是，在得出了線段圖之后，他們關(guān)注的內(nèi)容不在這道題目的答案上，而是怎樣來畫圖的，線段圖中的那些數(shù)是怎樣得到的。這樣的經(jīng)歷，會加深學(xué)生對這類問題的理解，幫助他們將數(shù)與形更好地融合起來。

數(shù)形結(jié)合思想是有著重要地位的基本數(shù)學(xué)思想，我們在實際教學(xué)中要讓學(xué)生接觸到數(shù)形結(jié)合，感知它，運用它，并總結(jié)得失，交流技巧，這樣可以幫助他們更好地解決實際問題。