弱下集算子與弱上集算子

汪 鯤，盧 濤

(淮北師范大學數學科學學院，安徽淮北 235000)

連續格理論與Domain理論來源于兩個不同的背景：一是理論計算機中函數式語言的語義研究；一是偏序結構與內蘊拓撲的純數學研究.經過多年的發展，連續格的大部分成果被推廣到了Domain理論中，并與邏輯學、范疇論、(格上)拓撲學和Locale理論等眾多領域和分支發生了關聯.鄭崇友[1]系統地論述了連續格理論的基本內容，其中也包含了我國學者近年來在該領域的一些研究成果.潘美林[2]引入了下集算子和上集算子的定義，并在此基礎上研究了偏序集的一些性質，將下集算子作用在集合上，得到集合下確界的下集.自然而然會產生以下問題：有沒有算子可以得到集合全體元素下集構成的集合？若存在,它有何性質？本文對上述問題進行研究，給出與這些問題有關的若干結果.

1 預備知識

定義1.3[1]設(P,≤)是偏序集，S?P.(1)若S≠?，并且S中的任意二個元在S中都有上界，即?a,b∈S，有c∈S，使得a≤c,b≤c，則稱S是定向的或為P的定向子集；(2)若S≠?，并且S中的任意二個元在S中都有下界，即?a,b∈S，有c∈S，使得c≤a,c≤b，則稱S是余定向的或為P的余定向子集.

定義1.4[1]設(P,≤)是偏序集，I與F都是P的非空子集.(1)若I是定向的下集，則稱I是偏序集(P,≤)的理想；(2)若F是余定向的上集，則稱I是偏序集(P,≤)的濾子.

定義1.5[1]設L是格，I與F分別是L的理想與濾子.(1)對于L的理想I，若1?I，稱I是真理想.對于L的濾子F，若0?F，稱F是真濾子；(2)若I是L的真理想，并且?a,b∈L,a∧b∈I?a∈I或b∈I，則稱I是素理想；(3)若F是L的真濾子，并且?a,b∈L,a∨b∈F?a∈F或b∈F，則稱F素濾子.

2 主要結論

定義2.1 設P為偏序集，F:P→P為算子，若?x∈P，有F(x)=↓x或對P的任意非空集合S，?x∈S，有↓x?F(S)，則稱F為P的弱下集算子.

易知弱下集算子與下集算子等價?S有下確界.

定義2.2 設P為偏序集，G:P→P為算子，若?x∈P，有G(x)=↑x或對P的任意非空集合S，?x∈S，有↑x?G(S)，則稱G為P的弱上集算子.

同理，弱上集算子與上集算子等價?S有上確界.

例2.1 設L為二元格，L=[0,1]，?a∈L,F:L→L,G:L→L為平凡映射，若0∈F(a),1∈G(a)，則F為L的弱下集算子，G為L的弱上集算子.

例2.2 設P為偏序集，F:P→P為恒等映射，則F為P的弱下集算子與弱上集算子.

命題2.1 設P為偏序集，F:P→P為弱下集算子，則以下命題成立：(1)S?F(S)，若supS∈S，則F(supS)=F(S)；(2)F(F(a))=F(a)(冪等性)；(3)設P為∧-半格，對于?a,b∈P有F(a)∧F(b)=↓a∧↓b=↓(a∧b)=F(a∧b)；(4)設P為偏序集，?A,B?P，有A≤B?A?B≤F(A)?F(B).

命題2.2 設P為偏序集，G:P→P為弱上集算子，則以下命題成立：(1)S?G(S)，若infS∈S，則G(infS)=G(S)；(2)G(G(a))=G(a)(冪等性)；(3)設P為偏序集，?A,B?P，有A≤B?A?B?G(A)?G(B).

命題2.3 設P為偏序集，F:P→P為保序映射，對任意的S?P，若F(S)為P的下集且S?F(S)，則F為P的弱下集算子.

注1 在命題2.3中，若S為定向集，則F(S)為理想，即x=supS?↓x=F(S).

命題2.4 設P為偏序集，G:P→P為保序映射，對任意的S?P，若G(S)為P的上集且S?G(S)，則F為P的弱上集算子.

命題2.5 設P為∨-半格，F:P→P為保序映射，S?P，若?a,b∈P，a∨b∈S?a∈F(S),b∈F(S)，則F為P的弱下集算子.

證明 因a,b≤a∨b，故a,b∈↓(a∨b)，且a∨b∈↓(a∨b).對?x≤a∨b(x∈P)，由a,b,x的任意性，x∨(a∨b)=a∨b∈S.從而x,a∨b∈F(S)，因x≤a∨b，F為保序映射，由x的任意性可知↓(a∨b)?F(S)，所以對?a,b∈P，若a∨b∈S，↓(a∨b)?F(S)，即F為P的弱下集算子.

命題2.6 設P為∧-半格，G:P→P為保序映射，S?P，若?a,b∈P，a∧b∈S?a∈G(S),b∈G(S)，則F為P的弱上集算子.

定理2.1 設L為格，F:L→L為保序映射，S?L，S為定向集且1?S.則以下命題等價：(1)?a,b∈L，a∧b∈S蘊含著a∈S或b∈S；(2)S中存在素元a；(3)F(S)為素理想?F為P的弱下集算子.

證明 (1)?(2)，設supS=s，因a∧b∈S蘊含著a∈S或b∈S，即a∧b≤s時，有a≤s或b≤s，則s為L的素元.

定理2.2 設L為格，G:L→L為保序映射，S?L，S為余定向集且1?S.則以下命題等價：(1)?a,b∈L，a∨b∈S蘊含著a∈S或b∈S；(2)S中存在余素元a；(3)F(S)為素濾子?F為P的弱上集算子.

證明 類似定理2.1的證明可證結論成立.

設L為Boole代數，┐:L→L為補運算(?a∈L,a∧┐a=0,a∨┐a=1)，可得┐:L→L為逆合對應，故?a,b∈L,a≤b?┐a≥┐b(證明過程可以參考文獻[3]).

記I(L)為L上全體弱下集算子構成的集合，Γ(L)為L上全體弱上集算子構成的集合.

定理2.3 設L為Boole代數，┐:L→L為補運算，若F∈Ι(L),G∈Γ(L)，則┐F┐∈Γ(L),┐G┐∈Ι(L).

證明 對?a∈L,?┐a∈L，s.t.a∧┐a=0，a∨┐a=1.又F(a)=↓a，故對?x∈↓a，有x≤a，進而x∧┐a≤a∧┐a=0,x∨┐a≤a∨┐a=1，因L為Boole代數，從而x∧┐a≤0,x∨┐a<1，故?┐a<┐x,s.t.x∧┐x=0,x∨┐a

命題2.7 設L為Boole代數，┐:L→L為補運算，F,G分別為L的弱下集算子與弱上集算子，有x∈F(a)?┐x∈G(┐a).

證明 由定理2.3即可證明命題2.7成立.