等差數列在不等式中的應用

王雷?趙蓉?王磊

摘要：對于一個數學問題，我們不能膚淺的認識它，要深層次地挖掘它。這樣有利益拓展學生的思維，增加學生的學習興趣，下面就對等差數列中的一個定理進行證明和應用。

關鍵詞：等差數列；證明；定理；分析

等差數列由于其內容的豐富性，公式的整合、變形的多樣性，所以它的相關知識點是每年高考必考的內容之一。其實等差數列還能與不等式聯系在一起，使得等差數列的應用更加廣泛。

這里給出等差數列的一個定理：數列{an}是正項等差數列，對任意的k∈N，有≥ak+2 = （k + 1）a2 - ka1，當且僅當ak = ak+1時等號成立。

證明：對于正項等差數列{an}，若公差為d，則有

（a1 + kb）2≥（a1 + kd）2 - d2（a1 + kd）2≥[a1 + （k - 1）d][a1 + （k + 1）d]

所以 對任意的k∈N，有≤≤≤…≤≤，

即≤，≤，≤，…，≤.

將以上k個不等式相乘： ··· … ·≤， 即 ≤，

所以≥ak+2=a1 + （k + 1）d=a1 + （k + 1）（a2 - a1）=（k + 1）a2 - ka1

從該定理不難看出以下兩方面結論：

（1）雖然該定理是等差數列的定理之一，但對于任意正數a、b均有

（k∈N）.這樣定理的使用范圍很廣，在大量的問題中得到應用。

（2）它將正數a、b的高次冪轉化成了a、b的一次冪，完成了降冪的過程。

下面通過兩個例題分別加以說明：

例1 已知，求sin10θ+cos10θ的最小值。

分析：該題有多種解法，比較典型有數形結合的方法或從函數單調性去判斷，即時，sin10θ+cos10θ有最小值.我們這里從等差數列的定理去分析，將sinθ和cosθ的10次方降為2次方，再利用sin2θ + cos2θ = 1求得。

解 ，則sinθ、cosθ∈R+，設sin10θ + cos10θ = M 4，則由定理得

1=≥（5sin2θ - 4M） + （5cos2θ - 4M）

=5（sin2θ + cos2θ）-8M=5 - 8M.

所以 8M≥4，M≥，M 4≥.故（sin10θ + cos10θ）min=.

將該題進一步拓展，例如：設正數a、b，且有a + b = m，求an + bn的最小值.這里m和n可以任取，因而，我們用同樣的方法解決了一系列問題。

例2 已知x1， x2，…， xn∈R+，求證≥x1 + x2 + … + xn.

分析：定理中令k = 1，則有≥a3 = 2a2 - a1，顯然與所證不等式驚人的相似。

證明：≥≥≥2xn - x1，

將以上n個不等式相加，得

≥2（x1 + x2 + … + xn）-（x1 + x2 + … + xn）=x1 + x2 + … + xn.

該題也可以進一步拓展，例如：已知x1， x2，…， xn∈R+，求證≥k （x1 + x2 + … + xn），當k取不同的值也能得到不同的問題。

綜上可知，一個關于等差數列的定理和它的解題方法可以幫助應對多種類型的問題，以不變應萬變，極大地提高了學習的有效性。

參考文獻：

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（作者單位：遼寧省大連市空軍通信士官學校數學教研室）