發現物理學中的對稱美

邵韜

【內容摘要】在彈性邊界的圓形磁場中，若帶電粒子能從某一位置進入，且能從同一位置出射，入射速度的取值一般存在多解，對應了不同的運動軌跡。本文對此問題進行分析歸納，以期為高中師生對該類問題的設計及研究帶來幫助。

【關鍵詞】磁偏轉?運動軌跡?速度多解

一、問題提出

如圖1，半徑為R的絕緣圓筒中存在勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂直紙面向里，筒形場區的邊界由彈性材料構成（離子和筒壁的碰撞無能量和電荷量的損失）。一質量為m，電荷量為q的正離子（不計重力）從筒壁上的小孔M進入筒中，與筒壁發生了多次碰撞后，離子能從M孔射出。現討論當入射角θ一定時，入射離子速度v的取值情況。

二、正離子的運動情況

（1）記離子從入射到出射的總碰撞次數為n，出射時也認為發生一次碰撞。令入射點為M，第n次碰撞位置為Mn（n∈N*）。令正離子的入射角θ（-90°<θ<90°），當入射速度v偏向右時θ取正。設正離子在磁場中運動的軌跡半徑r，軌跡的圓心P;

（2）如圖2為正離子從入射到第一次碰撞前的運動軌跡圓弧MM1，碰撞中無能量和電荷量的損失，碰撞前后速度大小不變，方向與半徑OMn之間的夾角恒為θ;

（3）記每一段圓弧軌跡所對應的圓筒磁場的圓心角α，運動圈數為k。

若經過n次碰撞正離子能從M點射出，必然滿足：nα=2πk（n，k∈N*）（1-1）

對ΔOPM應用正弦定理：Rsin（90°+θ-α/2）=rsin（α/2）?（1-2）

由式（1-1）和式（1-2）得正離子運動軌跡半徑：r=1cosθcot（kπn）+sinθ·R（1-3）

洛倫茲力提供向心力：qvB=mv2r?（1-4）

由式（1-3）和式（1-4）得入射速度：v=1cosθcot（kπn）+sinθ·qvBm（1-5）

圖2

三、運動圈數k與碰撞次數n的取值情況

（1）正離子在磁場中因洛倫茲力作用而偏轉，碰撞位置M1不可能到達速度延長線與圓筒邊界的交點N，則：a<π+2θ（2-1）

代入式（1-1）有：k<（12+θπ） n?（2-2）

（2）若正離子自M點進入磁場后，能再次回到M點，必定直接從M點出射，要求正離子的運動軌跡不能重合，n和k不應存在最大公約數c，即n和k互質！

四、θ=30°入射粒子的運動軌跡賞析

【參考文獻】

[1]陳杰.帶電粒子在磁場中運動問題多解性的分析與思考[J].高中數理化，2015（24）：27.