基于區間猶豫模糊語言評價的多屬性決策方法及其應用

龔日朝，張 文，劉東海

（湖南科技大學a.商學院；b.數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201）

0 引言

在現實群決策或評價過程中，運用區間猶豫模糊語言數（IVHFLN）去描述對象的每一個屬性特征，關鍵是如何集結對象的所有被考察特征，獲得科學的綜合評價結論[1-3]。對此，文獻[4]運用Yager（2008）提出的PA聚合算子理論[5]，構建了區間值猶豫模糊語言優先加權平均（IVHFLPWA）算子，將每個決策單元所有屬性的評價結果聚合成一個新的IVHFLN，然后再通過構建IVHFLN的得分函數和精確函數選擇最優決策。其權重的確定是基于對象在每個屬性下的得分大小，因此，其導致不同對象的不同屬性具有不同的權重，是一種“因人而異”確定屬性權重的方法。顯然在現實決策評價中，人們往往難以接受。此外，集結算子的理解和計算又比較復雜，在實際應用中難以得到推廣運用。為此，本文轉換一個決策分析的視角，將每一個對象看成是多屬性維度構成的向量，在構建多維區間猶豫模糊語言數向量的距離測度基礎上，運用TOPSIS方法的基本思想[6-8]，計算每一個決策單元與正理想解和負理想解的距離，構建一個新的決策過程，這就避開了文獻[4]中復雜算子的構建與計算。為了驗證這一方法的可行性，本文采用文獻[4]的實例數據進行分析與驗證，通過驗證發現排序結果完全相同，充分說明本文所提出的新思路和方法能達到同樣甚至更好的決策效果。

1 基本理論與假設

1.1 語言集及其語言尺度函數

定義1[9]：設是由奇數個語言元素組成的集合，其中t是一個正整數。若集合S滿足兩個特征：

（1）如果i＞j，則si＞sj；反之亦然。

（2）如果i+j=2t，則si=neg(sj)；反之亦然。

則稱S為語言集，其中，語言元素si的個數2t+1稱為語言集粒度，語言集的中點(st)為中性評價值，其他評價值以該點為中心，分別向兩端對稱擴展。

定義2[4]：語言集S在不同語意環境下的語言尺度函數定義為：

（1）類型A

（2）類型B

其中，a的值可以主觀決定。對于7值語言集，大部分學者認為a=≈1.37比較合適。

（3）類型C

其中α，β∈(0，1]如果α=β=1，則。本文取α=β=0.8。

顯然，語言尺度函數f(si)=θi是一個嚴格單調遞增的函數。

1.2 區間猶豫模糊語言集

基于現實決策過程，文獻[4]抽象出了“區間猶豫模糊語言集”的定義。

定義 3[4]：設X={x1，x2，…，xn} 為評價對象集，sθ(x)∈S是x關于屬性A的評價結果，其中則被稱之為一個區間猶豫模糊語言集。其中，ΓA(x)是[0，1]上有限個子閉區間的集合，即：

上式表示x關于屬性A的評價為sθ(x)的有限個隸屬度區間集合，#ΓA(x)表示區間個數，并稱為區間猶豫模糊語言數。

注意到現實中對不同的對象x，#ΓA(x)的值可能不同。為此，本文提出如下假設：

假設：由K個成員組成的決策機構，在決策過程中每個成員必須給出自己的意見，而且采用區間數表示對象x關于屬性A評價等級為sθ(x)的隸屬度。但如果認為評價等級是準確的，沒有異議，則可以不發表意見，默認隸屬度區間為[1，1]。

顯然，定義4是一種符合現實的數據處理方法，是一個由決策機構集體形成的完整決策數據，而且這一方法很好地解決了后面所要研究的多屬性決策問題中數據標準化處理的問題。

1.3 IVHFLN得分函數與精確函數

基于語言尺度函數，文獻[4]提出了用得分函數和精確函數刻畫評價決策單元具有某屬性的大小和精確性對IVHFLN排序的規則。

定義5[4]:設是 IVHFLN，其得分函數和精確函數分別定義為：

定義6[4]：設α和β為任意兩個區間猶豫模糊語言數，則：

（1）如果S(α)＞S(β)，則α＞β；

（2）如果S(α)=S(β)，則：①當A(α)＞A(β)時，α＞β；②當A(α)=A(β)，則α=β。

值得一提的是，基于定義5和定義6對IVHFLN排序，α和β中的區間數個數必須相同，否則，會出現與直觀認識相違背的結論。此外，如果對IVHFLN進行標準化處理，定義5中的精確函數也值得商榷，理由如下：其一，對于給定的區間猶豫模糊語言集，根據其定義，語言是確定的，其猶豫模糊性主要體現在隸屬度區間的不確定性，包括區間的個數的不確定性、區間上下限值的不確定性等，因此，精確函數應該是與f(sθ(x))無關的一個測度函數。其二，精確性與隸屬度區間集合中區間元素的離散程度有關，但#ΓA(x)≤K，也就是區間個數小于決策機構成員數K時，必須考慮所有決策者的意見，否則會出現與現實相違背的問題。

根據以上討論與分析，本文對定義5進行修正，給出如下IVHFLN得分函數和精確函數的定義：

2 區間猶豫模糊語言集的多屬性決策模型

2.1 問題的提出

記S={s6=很好，s5=好，s4=較好，s3=一般，s2=較差，

}s1=差，s0=很差 為7值語言術語集。

假設某多屬性決策問題具有n個決策單元，由K個成員組成的決策機構D=，運用7值語言術語集對m個屬性C=分別進行評價，采取兩階段決策方法，選擇最優決策單元。假設屬性權重為

第一階段，由某評價機構對每一決策單元，關于每一屬性給出一個評價等級。等級采取7值語言集的方法確定，得到語言數矩陣：

其中，sθ(xi|cj)∈S表示xi關于屬性cj所對應的語言數。

第二階段，在上述語言數矩陣D0基礎上，決策機構成員分別根據個人的認知與觀點，對每一個決策單元的每一個屬性評價結果發表意見——給出隸屬度區間，得到如下決策矩陣：

最后，基于決策矩陣，構建綜合評價模型，給出最優決策單元。

2.2 區間猶豫模糊語言數向量距離測度

從決策矩陣D可以看出，矩陣每一行代表著一個決策單元的評價信息，是m維空間的一個向量。為此，本文給出區間猶豫模糊語言數向量的定義。

定義8：對于給定對象x，設1，2，…，m是屬性cj的評價值，則向量稱為m維區間猶豫模糊語言數向量。

決策矩陣D的n行，也可看成m維區間猶豫模糊語言數向量空間中的n個點。根據上述某個固定屬性下區間猶豫模糊語言數的大小比較方法，得分函數本質上是一個區間猶豫模糊語言集到實數集合的映射。于是，通過這一映射，m維區間猶豫模糊語言數向量對應著m維得分值向量。利用歐氏空間加權向量距離公式，本文定義m維區間猶豫模糊語言數向量空間的距離側度。

其中，ωj為權重，滿足ω1+ω2+…+ωm=1，S(αij)表示區間猶豫模糊語言數αij的得分值。

根據定義9，顯然有如下的定理。

2.3 TOPSIS法決策過程

基于上述理論，本文利用多屬性決策問題中常用的TOPSIS方法思想，通過計算各決策單元與正理想解和負理想解的距離對決策單元進行排序，即：距離正理想解最近，且距離負理想解最遠的決策單元為最佳決策單元；反之，則為最差決策單元。基本步驟如下：

第一步：建立決策矩陣（5）式，并根據定義4，將決策矩陣轉化為標準決策矩陣：

其中：

第二步：計算得分矩陣和精確矩陣。根據定義7的式（3）和式（4），分別計算每個屬性下區間猶豫模糊語言數的得分函數值，得到得分矩陣和精確矩陣：

第三步：確定正理想解和負理想解。根據得分矩陣和精確矩陣，按照定義6，在標準化決策矩陣D中選擇每一個屬性下得分函數值最大（當最大得分值相同時，選擇精確函數值最大）所對應的區間猶豫模糊語言數，記為

第四步：根據定義9，分別計算每個行向量（決策單元）與正理想解、負理想解之間的距離，記為d(xi，x+)和d(xi，x-)，計算公式為：

第五步：對決策單元進行排序。首先計算各個備選決策單元的相對貼近度Ci，i=1，2，…，n，計算公式為：

然后，根據相對貼近度的大小進行排序，如果某個Ci最大，則所對應的備選決策單元為最優。

3 實例數值計算結果

為了說明本文所提出方法的有效性，采用文獻[4]中的實例問題和數據。

3.1 實例問題的提出

3.2 決策過程與計算結果

第一步：建立決策矩陣。海外投資部門采用7值語言集S刻畫5個國家的4個屬性等級，用區間猶豫模糊語言集表達每個屬性的評價意見，得到區間猶豫模糊語言數決策矩陣（見表1）。

表1 區間猶豫模糊語言數決策矩陣

由表1得到標準化區間猶豫模糊語言數決策矩陣（見表2）。

表2 標準化區間猶豫模糊語言數決策矩陣

第二步：計算得分矩陣和精確矩陣。根據表2標準化決策矩陣，運用定義7的式（3）和式（4），分別計算每個屬性下區間猶豫模糊語言數的得分函數值，分別得到定義2中三種尺度函數下的得分矩陣（見表3）。

表3 三種類型尺度函數下的得分矩陣

第三步：確定正理想解和負理想解。根據得分矩陣（表3），在三種類型尺度函數情形下，可獲得正理想解和負理想解（見表4）。

表4 三種類型尺度函數下的正理想解和負理想解

第四步：假設四個屬性 {c1，c2，c3，c4} 的權重對應為{ω1=0.73，ω2=0.18，ω3=0.06，ω4=0.03}，根據式（7）和式（8）計算每個備選決策單元與正理想解和負理想解之間的距離，并根據式（9）計算出相對貼近度，結果見表5。

表5 三種類型尺度函數下決策單元與理想解的距離及相對貼近度

由表5可以看出，5個決策單元的排序，均為x5?x3?x1?x2?x4，表示x5為最佳投資對象，其次是x3，而x4是最不理想的投資對象。這一結論與文獻[4]的結論完全一致，充分說明本文提出的決策方法與過程同樣是有效的，而且更簡單直觀。

4 結束語

本文運用向量距離測度法，結合現實群決策過程，首先定義了標準化區間猶豫模糊語言數以及其向量的概念，實際上，也就是給出了一種區間猶豫模糊語言數的歸一法，并據此修正了文獻[4]提出的區間猶豫模糊語言數的得分函數和精確函數計算公式。然后，利用得分函數將區間猶豫模糊語言集映射到實數集的關系，構建了區間猶豫模糊語言數向量之間的距離測度，實現了將區間猶豫模糊語言數決策矩陣向實數矩陣的轉換。通過這些方法的創新，本文有效地運用了多屬性決策中常用的TOPSIS方法思想，建立了基于區間猶豫模糊語言評價的多屬性決策模型，大大簡化了文獻[4]構建PA聚合算子的決策計算過程。通過運用文獻[4]中的同一問題及其數據進行決策計算與分析，本文得到了與其完全相同的決策結果，驗證了方法的有效性和可行性。顯然，本文決策過程更容易被人們理解和接受，在現實中更容易被應用，而且也進一步有利于被決策對象分析自身的優勢和存在的不足。