“雞兔同籠問題”的解決方案初探

劉錦霞 李玉嬌

對雞兔同籠問題，學生的解決方案有多種.

一是算術方法.包括：嘗試、調整.窮舉、列表.假設、推理.在五年級學生的具體操作中列表法、嘗試法有這樣的幾種方法：

方法1：根據雞和兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔有19只，腿共有78條.在這樣的逐一舉例中，直至尋求到所求的答案.

頭/個雞/只兔/只腿/條

2011978

2021876

2031774

2041672

…………

2013754

方法2：先做一些分析，比較后再試.

頭/個雞/只兔/只腿/條

2011978

2051570

20101060

2015550

2014652

2013754

方法3：先假設雞和兔各占一半，再列表.

頭/個雞/只兔/只腿/條

20101060

2012856

2013754

60>54，說明兔子多了，應減少兔子數.

分析這幾種解決問題的策略：

上面三種方法中，第一張表格是常規的逐一列舉法，即根據雞與兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條;假設雞有2只，那么兔就有18只，腿共有76條，在這樣的逐一舉例中，直至找到所求的答案.經過課堂調查此種方法被我們班上31名學生所采用，看樣子這種方法是能被大多數學生所理解的一種方法.第二張表格是估計雞與兔數量的可能范圍，以減少舉例的次數.第三張表格是采用取中列舉的方法，由于雞和兔共20只，所以各取10只，接著在舉例中根據實際數據的情況確定舉例的方向，這樣可以大大縮小舉例的范圍.“嘗試、調整”和“窮舉、列表”這兩種方法，都是數學中的通法.而從認知上看，也是學生容易掌握的方法.

學生采用的假設推理法有下面幾種：

方法1：

假設這20只全部是兔子，那么就應該有80條腿，而題目只告訴我們有54條腿，我們算的80與實際相比多算了26條腿，這是為什么呢？因為一只雞是兩條腿，而我們把它當成四條腿算了，如果用一只雞來換一只兔，就要減少2條腿，也就是我們把多少只雞當成了兔子，顯然26÷2=13（只），所以雞有13只，兔子有7只.可以列式為：（20×4-54）÷（4-2）=13（只），20-13=7（只）.

方法2：

假設這20只全部是雞，那么就應該有40條腿，比實際少了14條腿，是因為每只兔子少算了2條腿，這樣共有兔子是7只，雞則是13只.列式如下：（54-20×2）÷（4-2）=7（只），20-7=13（只）.

方法3：

把一只雞和一只兔看作一個整體，一個整體中就有（4+2=6）條腿，54條腿應該是幾個這樣的整體呢？54÷6=9（個），在9個這樣的整體里兔子的只數應該不是9只，因為9只兔和11只雞的腿的條數超過了總條數54.那么就把兔看成8只，還是偏大，最后把兔的只數看成7只，雞是13只，腿的總條數就正好是54了.列式為：4+2=6（只），54÷6=9（個），9-1=8（只），9-2=7（只），20-7=13（只），7×4=28（條），13×2=26（條）28+26=54（條）

方法4：

此方法是：假設每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來.顯然，在這種情況下，總腳數出現了一半，是27，此時，雞的腳數與雞的頭數是相等的，兔子的腳數是兔子的頭數的2倍.所以，從27中減去總的頭數20得7，就是兔子的頭數.當然，20-7=13，雞就是13只了.

分析這幾種解決問題的策略：

解決雞兔同籠問題通常使用假設法，可以假設所有的動物都是兔子，并求出在假設情況下的總腿數，再把實際的腿數和假設情況下的腿數相比較，看看多出了多少，每多2只腿說明有一只雞，將多出的腿數除以2就算出共有多少只雞.也可以假設全部是兔子來解.但這種“假設法”理解起來并不容易，對會使用此做法的學生在課堂上教師要進行鼓勵，對理解不透的也進行了靈活機動的處理，課后可向教師請教，也可和其他同學商討，在課堂上不做統一要求.

二是代數方法.

分析問題中的量，確定等量關系，設未知數，列方程，求解.學生具體解決策略有：

解法1：設其中有x只兔，有y只雞.列式為：x+y=20，4x+2y=54.

最后算出x=7，y=13.

解法2：設其中有x只兔，有（20-x）只雞.列式為：2x+4×（20-x）=54，最后算出x=7，得出兔的只數是7只，那么20-x=13就是雞的只數.

分析這幾種解決問題的策略：

這種列方程的代數方法，體現的是分析規律、表示規律、解決問題.對學習者的綜合應用能力和抽象思維能力有一定要求.這種方法可當作是課堂上的一種思維火花，要好好呵護，但不可強行全面推行.

三是幾何作圖方法，有如下幾種：

方法1：先畫20個圓圈表示20個頭.再為每個動物畫兩條腿，20只動物只用完40條腿，還多出了14條腿.把剩下的14條腿用完，要給其中的7只動物加2條腿，這7只就是兔子，另外的13只就是雞.

方法2：先畫20個頭，接著假設全部是兔，共畫80條腿，多出了26條腿，要給其中的13只動物去掉2條腿，這13只就是雞，另外的7只就是兔了.

分析這幾種解決問題的策略：

此種作圖法，只有幾名學生想到，但此法在班上進行展示后，得到了不少同學的喜愛，主要是因為它能直觀形象地展示出解題方案.

從課堂教學情況看，“嘗試、調整”和“窮舉、列表”方法，比較適用于一般的學生.代數方法，體現的是分析規律、表示規律、解決問題，對學習者的綜合應用能力和抽象思維能力有一定要求，在課堂上不做統一要求，但是學優生能想得出來，并呈現出多樣的思維，教師又要進行鼓勵和表揚，真正體現出：數學課堂上不同的人有不同的發展，不同的人學有不同的數學.