物理規律中的對稱性

姜岳鋒

【摘要】本文從對稱性原理出發，詳細闡述了時間平移不變性和空間平移不變性與高中物理的能量守恒定律以及動量守恒定律之間的聯系，以此探究了對稱性與守恒之間的關系，然后就對稱性原理中的因果關系作了簡單探究。

【關鍵詞】對稱性;守恒律;因果關系

一、引言

在高中物理中，從牛頓三大定律出發，尤其以其中的牛頓第二定律為核心，展開討論物體運動過程中所受力的作用與物體質量和加速度之間的關系，并由此導出能量和動量的概念與相關的守恒定律。但是這些似乎不是守恒定律的物理淵源，當跳出高中物理范疇的時候，能夠發現動量和能量好像才是研究的重點，所以對于這些守恒定律，似乎比牛頓定律更加普適。而從這些守恒定律中，也能夠看出更加深層次的物理含義，不僅僅是其表面所描述的動量和能量守恒不變的含義，而是其中表現出來的物理定律的對稱性。

守恒定律起源于對稱性，從時間和空間的均勻不變中，可以得到我們熟知的能量和動量守恒。對于高中物理熟悉的是對于重力勢能情況下的能量是守恒的，而對于摩擦力存在的情況，能量是不守恒的。這是因為前者是地球與作用物體之間的萬有引力相互作用導致，可以用重力勢來表述，其之間的相互作用勢不隨時間而變，對應于時間平移不變，在這種情況下，能量是守恒的;而對于后者摩擦力是耗散力，作用之后，能量就耗散掉了，不再可以用相互作用勢來表示，也就是其中因為摩擦力消失的能量不能夠儲存于勢能中，不再是一種能與動能相互轉化的能量。這也就導致了我們所說的機械能不守恒。

二、何為對稱性和對稱操作

在研究如何使用對稱性原理得到能量與動量守恒之前，先來研究一下什么是對稱性。首先對稱性在生活中是非常吸引人的，人們總是喜歡某些對稱性的物體與圖案。比如平常家中鋪地磚的時候，大家總是想要做到盡量對稱，生活中也時常能聽到有人用對稱美來形容一個圖案的美。但現在，在看慣了對稱美之后，大家似乎有些審美疲勞，更加在意不對稱的美。那么付稱這一平常生活中經常聽到的詞匯，又是怎么定義的呢。對稱性又是什么呢？科學家魏爾給出這樣的一個定義，如果有一個物體，我們對它做了某種事情之后，它看上去還是和之前一樣，那它就是對稱的。比如數學上的圓，將其繞自己的圓心轉個180°，還是得到一個與之前一樣的圓，所以我們通常說圓是一個極其對稱的物體。當然與對稱性一同出現的就是對稱性操作，我們將一個物體從一個狀態變到另外一個狀態的過程叫做操作，例如上面我們將圓繞著其圓心旋轉180°，它也是從一個狀態變到另外一個狀態，被操作了一下，只不過這兩個狀態都是它本身，這種操作比較特殊，所以我們稱作對稱操作，也就是說物體在此操作下不變。對于對稱操作，最常見的就是時空操作，分別是空間操作和時間操作。

三、能量守恒和動量守恒與對稱性之間的關系

1.916年諾特提出了一個著名定理諾特定理，每一個物理量的對稱性都對應著一個守恒量。這也就把守恒與對稱緊密的聯系起來，由于水平有限，只能借用這一結論，對于結論的證明以及深層次的含義還無法理解。從這一結論中，也能得知高中物理中的動量守恒與能量守恒必然與某種對稱性聯系起來。描述對稱性數學的方法似乎很難，為了更好地研究與理解對稱性與守恒定律之間的關系，我選用了比較簡單的例子來進行闡述。

對于時間平移對稱性與能量守恒之間的關系，我們可以簡單地看到，只要周邊環境一樣，同時給定系統所需的條件相同，其最終的結果與發生這一結果的過程似乎與時間沒有什么關系。因此我們可以相應得出物理規律具有時間平移不變性，這也就告訴我們物理規律在時間演化的過程中是不變的，是相同的。例如幾百年前牛頓發現的牛頓三大定律，在今天來看其體現的力的作用與物體的質量和加速度之間關系的物理規律還是一樣的。這種對稱性是與能量守恒相對應的。下面為了證明這一點，舉一個小例子。

設有一質量為m的粒子，在一個一維勢場V（x，t）中做運動，其所受的力為F（x），由此可以得到力所作的功

上式中的滿足如下公式：

代入上式中可以得到

對于上述的做功情況，我們有以下關系W=E₂-E₁（運用動能定理，其中E為動能）

這樣上述式子可以進一步寫成

如果勢能函數不隨時間變化，也就是時（E₂+V₂）=（E₁+V₁），，也就是高中物理中大家熟知的機械能守恒定律。上述情況我們可以簡單理解為如果勢能函數隨時間變化不變的話，就必定有機械能守恒。如同高中物理中熟知的重力勢能情況，如果重力隨時間變化的話，則不同時刻的重力勢能是不同的，我們也就不能確保每一時刻的機械能是相同的，也就不能得到機械能守恒，因為這時候相當一部分的能量將會轉化到地球的勢能場中，這時候要考慮場的能量，這一部分情況非常復雜。

而對于空間平移不變性和動量守恒之間的關系，依據我們常識所知的，一個物理對象與它所處的空間位置沒有關系，同樣當一個物體在兩個不同的地方時，它周圍的環境與所需的條件都一樣的情況下，其發生的結果與過程都是相同的，也就是物理規律具有時問平移不變性，而這一空間平移不變性與動量守恒是遙相呼應的。同樣為了詳細闡述這一情況，我選擇一個小例子進行研究探討。

現在有一個質量為m的粒子，在一維勢場V（x，t）中做運動，并設其動量為P，則它的運動方程可以由下得到

如果勢能函數不隨空間位置變化，也就是，那么，這也就說明了P=恒量，這也就說明了當勢能函數隨空間平移不變時，其動量是守恒的。

四、對稱性原理中的因果關系

上述討論了對稱性與高中物理中熟知的能量守恒以及動量守恒之間的關系，但是對于物理規律中的對稱性，不僅僅體現于其與守恒量之間的聯系，它在物理量之間的關系中也有著很大的作用。這也就是我們接下來要討論的因果關系與對稱性原理之間的聯系，皮埃爾·居里在1894年提出了這樣一個觀點，等價的原因就會導致等價的結果，對稱的原因也會導致對稱的結果，原因中的對稱性必然反應在結果中，也就是結果中的對稱性至少有原因中的對稱性那么多。相應的也就是結果中的不對稱性必然也會在原因中反應。這樣一個物理量如果可以和另外一個物理量相類比的話，那么其相應的物理量滿足的物理規律也就會和其類比物理量的物理規律相似。最簡單的一個例子就是電容和電導之問的關系。我們知道電容和電導的定義公式分別為

這樣兩公式有著對稱的形式，其中的電量Q和電流強度I對應，這也就導致電容與電導之間是相互對應的，所以對于電容并聯公式我們有

C=C₁+C₂+…+C_N

那相應的電導也就有同樣的并聯公式

G=G₁+G₂+…+G_N

同理對于電容和電導的串聯公式也會有相同的形式的物理規律。

五、總結

本文從對稱性這一概念談起，詳細探究了物理中守恒與對稱性之間的關系，討論了物理規律中對稱性的重要性，并就對稱性原理中的因果關系進行了簡單的討論。對稱性這一物理中的重要理念，不僅僅在過去給了大家許多關于物理的深刻理解，在當今的物理研究中也體現了其不一樣的理論價值。同時其在物體本身對稱性方面的研究也給了材料物理許多的啟示，在物理發展中有著極其重要的作用。

【參考文獻】

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