由斐波那契數列和盧卡斯數列到一般遞歸數列
2019-05-09 09:28:46姚厚成
文理導航·教育研究與實踐 2019年2期
姚厚成
【摘要】本文第一部分主要探討了斐波那契數列和盧卡斯數列的相關性質，并得到了他們和黃金分割比例的關系;在第二部分將第一部分的結論推廣到了一般的遞推數列中，得到了一般遞歸數列和黃金分割比例的關系。
【關鍵詞】斐波那契數列;盧卡斯數列;遞歸數列;黃金分割比例
一、斐波那契數列與盧卡斯數列
（一）斐波那契數列和盧卡斯數列的通項公式
斐波那契數列：若數列{Fn}滿足，F1=1， F2=1， Fn+2=Fn+1+Fn，n∈N，則稱數列{Fn}為斐波那契數列。
將數列{Fn}配湊成如下形式，
Fn+2+βFn+1=α（Fn+1+βFn）
滿足上式的α和β有兩組解，分別是
數列是公比為的等比數列，是公比為的等比數列，因此可以得到：
上面兩個式子相減得到：
盧卡斯數列;若數列{Ln}滿足，L1=1，L2=3，Ln+2=Ln+1+Ln，n∈N，則稱數列{Ln}為盧卡斯數列。
類似于斐波那契數列，我們可以得到盧卡斯數列滿足，
上面兩個式子相減，同樣地我們可以得到：
（二）斐波那契數列和盧卡斯數列性質
斐波那契數列和盧卡斯數列有一個重要的性質，該性質和極限有關，下面我們給出這個性質。
其實是著名的黃金分割比例，其和斐波那契數列有著密切的關系。
我們發現斐波那契數列和盧卡斯數列前一項比上后一項的極限都是黃金分割比例。
二、一般遞歸數列
如果數列{Rn}滿足R1=1，R2=1，Rn+2=Rn+1+Rn，我們稱{Rn}為一般遞歸數列。
其實數列{Rn}的通項公式和斐波那契數列有著很大的聯系，下面給出該結論。
類似于斐波那契數列的求解，關于數列{Rn}我們有：
上面兩個式子相減我們可以得到：
化簡可以得到;
其實根：{Rn}與斐波那契數列的關系，我們也可以得到盧卡斯數列和斐波那契數列的關系，
Ln=3Fn-1+Fn-2數列{Rn}相鄰兩項之比的極限也有一定的規律，下文給出該結論。
1.當時，由可以得到，則我們有：
2.當u=0，v=0時，此時Rn=0，∨n∈N*相鄰兩項之比無意義。
3.當時，
經過上述討論分析，我們發現，當數列{Rn}前兩項滿足時，其相鄰兩項之比的極限是黃金分割比例;當前兩項全為0時，相鄰兩項之比是無意義的;當相鄰兩項之比的極限是-，并非黃金分割比例，其實此時數列{Rn}任意相鄰兩項符號相反。
三、小結
斐波那契數列是一個有著近千年歷史的數學理論，到現在還廣為流傳，本文主要探討了其和著名的黃金分割比例的關系，并發現斐波那契數列的相鄰兩項之比的極限為黃金分割比例，并且發現盧卡斯數列也有這個性質，進而將該結論推廣到了一般遞歸數列。
【參考文獻】
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