巧分類，突破含參單調性

毛小果

函數與導數是高中數學極為重要的內容，函數單調性是進一步研究函數圖象與性質的關鍵環節。以導數為載體的含參函數問題的圖象和性質研究是高考考察的熱點和難點。解決此類問題的常見方法是：求導后進行分類討論，而如何進行分類討論則是解題的難點，本文以近年高考試題和模擬題中含參數導數問題為例，從“有無、大小、內外”六字分類法揭開含參單調性討論的神秘面紗。

一、導數為零是否有解（有無，內外）

例1.已知函數f（x）=Inx+a（1-x）討論f（%）的單調性。

解：f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）= 1/x-a若a≤0，則f'（x）f'（x）>0：當（1/a，+∞）時， f'（x）。所以f（X）在（0，1/a）上單調遞增，在（吞，+二）上單調遞減。

例2.已知函數f（x）=e^x（e^x-a）-a²x，討論f（x）的單調性。

解：f'（x）=2（e^x）²-ae^x-a²=（2e^x+a）（e^x-a）.（1）當a=0時，f'（x）=2（e^x）²>0恒成立，所以f（x）在R上單調遞增;（2）當a>0時，2e^x+a>0恒成立，令f'（x）>0，則e^x-a>0，

故x>Ina，所以f（x）在（Ina，+∞）上單調遞增，在（-∞， Ina）上單調遞減;（3）當a<0時，e^x-a>0恒成立，令f'（x）>0，則2e^x+a>0，即e^x>-a/2=e^In（-a/2），故x>In（-a/2），所以f（x）A（In（-a/2），+∞）上單調遞增，在（-∞，In（-a/2）上單調遞減。

二、導數為零的解有多個時（大小，內外）

例3.設函數f（x）=m（x-Inx）-1/x-Inx，m∈R.討論函數f（x）的單調性。

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=（x-1）（mx-1）/x²，當m=0時，f'（x）=-x+1/x²，函數f（x）在區問（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減;當m<0時，1/m<0<1，函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減;當0

當m=1時，f'（x）=（x-1）²/x²≥1，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增;當m>1時，0<1/m<1，函數f（x）在區間（0，1/m）上單調遞增，在區間（1/m，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增。

三、雙變量含參單調性討論

例4.已知函數f（x）=ax²+bx-Inx（a，b∈R），設a≥0，求f（x）的單調區間。

解：由f（x）=ax²+bx-Inx，x∈（0，+∞），得f'（x）=2ax²+bx-1/x。

（1）當a=0時，f'（x）=bx-1/x。若b≤0，當x>0時，f'（x）<0恒成立，所以函數f（x）的單調遞減區間是（0，+∞）.若b>0，當01/b時，f'（x）>0，函數f（x）單調遞增。所以函數f（x）的單調遞減區間是（0，1/b），單調遞增區間是（1/b，+∞）。

（2）當a>0時，令f '（x）=0，得2ax²+bx-1=0。由△=b²x₂>0。當02