高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用探究

投清雯

【摘要】對(duì)稱圖形在我們的日常生活中隨處可見，函數(shù)對(duì)稱性是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考分?jǐn)?shù)中占據(jù)較大比例，高中生想要提高高考數(shù)學(xué)成績(jī)，必須要理解并掌握函數(shù)對(duì)稱性相關(guān)知識(shí)。本文主要分析高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的相關(guān)定義以及應(yīng)用，希望能夠幫助廣大高中生加深函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)理解‘刑石函數(shù)解題思路。

【關(guān)鍵詞】高中生;數(shù)學(xué)函數(shù);對(duì)稱性

作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)知識(shí)一直困擾著高中生，函數(shù)對(duì)稱性相較其他函數(shù)知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單，但卻是歷年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)出題范圍。高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)先明確對(duì)稱性的具體含義，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，提高自身數(shù)學(xué)思維和分析能力、判斷能力、解題能力，從而切實(shí)提高函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用能力。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的定義

（一）函數(shù)的軸對(duì)稱

函數(shù)對(duì)稱理論是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，主要研究方向?yàn)閷?duì)稱多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)與組合性質(zhì)。函妻幽勺軸付稱指的是當(dāng)某二次函數(shù)有最值時(shí)，自變量所在的直線關(guān)于軸對(duì)稱，這條直線就是二次函數(shù)的對(duì)稱軸。

（二）中心對(duì)稱

將某函數(shù)圖像繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如：旋轉(zhuǎn)后的圖形與原函數(shù)圖像重合，則說明這兩個(gè)圖形關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱），此點(diǎn)為中心對(duì)稱點(diǎn)，該函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)。

二、端正學(xué)習(xí)態(tài)度

高中數(shù)學(xué)需要高中生具備較強(qiáng)的思維邏輯能力，具有刻板、枯燥、抽象等特點(diǎn)。高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)稱知識(shí)時(shí)，經(jīng)常遇到理解不透徹、掌握不熟練等問題，其主要原因是當(dāng)代高中生對(duì)函數(shù)對(duì)稱內(nèi)容、知識(shí)體系、數(shù)學(xué)思想理解不深入，沒有在學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)形成相對(duì)穩(wěn)定的邏輯思維。因此，高中生必須端正學(xué)習(xí)態(tài)度，督促自己改正不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，從根本上激發(fā)學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)稱知識(shí)的動(dòng)力，從而提高函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用能力。

例如：對(duì)于下面這道關(guān)于函數(shù)對(duì)稱的知識(shí)，高中生在解題時(shí)應(yīng)當(dāng)仔細(xì)讀題，認(rèn)真審題。“假設(shè)f（x）是定義于尺上的一個(gè)奇函數(shù)，有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x大于等于0且小于等于1時(shí)，f（x）=x，那么當(dāng)x的值為7.5時(shí)，f（x）應(yīng)該等于多少？”由題面可知，由于y=f（x）是奇函數(shù)且屬于R，所以原點(diǎn)（0，0）是該函數(shù)的中心對(duì)稱點(diǎn);因?yàn)閒（x+2）=-f（x），-f（x）=f（-x），所以可以得出f（1+x）=f（1-x）;由此可知該函數(shù)是關(guān)于直線x=1對(duì)稱的周期函數(shù)，周期為2;因此，當(dāng)x等于7.5時(shí)，f（x）的值應(yīng)當(dāng)是f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5。

三、提高數(shù)學(xué)思維

高中數(shù)學(xué)的函數(shù)對(duì)稱性相較初中，增加了空間特性，數(shù)學(xué)思維更加偏向于三維空間，所以高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)樹立正確的空間思維，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力。高中的函數(shù)對(duì)稱性習(xí)題，主要圍繞點(diǎn)對(duì)稱、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等相關(guān)知識(shí)開展，題型與解題方式相差無幾，高中生在利用數(shù)學(xué)思維解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持“不同種類習(xí)題都對(duì)應(yīng)解法”的基本思考方向，再讀懂題面之后，對(duì)問題進(jìn)行拆分、簡(jiǎn)化、歸納，從而得出正確答案。

例如：“假設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，請(qǐng)問f（x）的最大值應(yīng)該是多少？”高中生在讀題之后，首先應(yīng)當(dāng)明白這道題主要考察函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)、函數(shù)圖形平移知識(shí)以及偶函數(shù)性質(zhì)知識(shí)，然后可以利用導(dǎo)函數(shù)相關(guān)知識(shí)求得該函數(shù)的最大值。由題可知，由于f（x）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，所以當(dāng)函數(shù)向右平移2個(gè)單位后，可以得到圖像關(guān)于Y軸對(duì)稱的偶函數(shù)f（x-2）;又因?yàn)閒（x）=（1-x²）（x²+ax+b），所以函數(shù)f（x-2）=x⁴+（8-a）x³+（6a-b-23）x²+（-11a+4b+28）x（6a-3b-12）為偶函數(shù)，解得a的值為8，b的值為15，因此函數(shù)f（x）=（1-x²）x²+8x+15）;根據(jù)上述數(shù)據(jù)可以得出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為-4（x+2）（x²+4x-1），令導(dǎo)函數(shù)為0，可以得出x的值為2或或;將三個(gè)數(shù)值分別帶入導(dǎo)函數(shù)中，最后得出當(dāng)x的值為或時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為16。

四、開拓解題思路

高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)稱性相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)努力開拓解題思路，培養(yǎng)空間思維能力與抽象思維能力，如此才能保障在遇到某一道相似題型時(shí)，做到舉一反三。對(duì)此，高中生可以利用課練結(jié)合的方式，提高函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用能力，例如：下面這道習(xí)題：“已知：正比例函數(shù)y=n·x（n不等于0）（m·n大于0），反比例函數(shù)y=m/x（m不等于0），兩個(gè)函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P坐標(biāo)為（），求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。”由題可知，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以兩函數(shù)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;由于P坐標(biāo)為（），根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性可以得出Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）。關(guān)于該例題的解題思路，多數(shù)高中生在讀懂題之后可能會(huì)選擇使用常規(guī)解題方法，將P點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值帶入到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)中，通過建立方程組得出Q點(diǎn)的值，盡管這種思路是正確的，但上述例題在實(shí)際考試中，可能只是一道填空題或選擇題，為了節(jié)約時(shí)間，高中生可以選擇較為簡(jiǎn)便的解題方法，利用函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行解題較為省時(shí)省力。

結(jié)束語

綜上所述，函數(shù)相關(guān)知識(shí)貫穿于高中數(shù)學(xué)整體學(xué)習(xí)過程，利用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題和生活問題是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)函數(shù)的主要目的，函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)應(yīng)用范圍相對(duì)較廣，涉及生產(chǎn)生活的方方面面。高中生無論是為了提高數(shù)學(xué)成績(jī)，還是為了日后工作，都應(yīng)對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的相關(guān)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用有明確且深入的了解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張新沖.探析高中數(shù)學(xué)函數(shù)的對(duì)稱性學(xué)習(xí)[J].中國(guó)校外教育.2017（29）：74一75