三類數學題的函數圖象解答方法

張曦元

【摘要】對于高中階段的學生而言，學會運用函數圖象是其應用數形結合思想的主要表現，同時，也能夠為解題提供便利。因此，本文將對函數圖象中蘊含的數學思想進行闡述，并具體分析函數圖象在高中數學解題中的運用，希望可以為高中生更好解答數學題提供幫助。

【關鍵詞】函數圖象;高中;數學

在高中數學學習中，函數圖象不僅是高中生學習的重點與難點，其還可以對其他知識點起到一定作用，高中生必須合理運用函數圖象，明確解題思路，以直觀方式找出準確答案，從而為自身解題能力的提高奠定良好基礎。

一、函數圖象中蘊含的數學思想

數和形是高中數學學習中最重要的兩方面，在具體學習過程中，函數圖象可以將大部分數量關系直觀展示出來，有利于學生快速、準確認識數和形的轉化，并有效解決復雜數學問題。因此，高中生必須了解數形結合思想，并加強對函數圖象的運用。通常情況下，數形轉化有形轉數、數轉形以及數形相互轉化三種方式，所以，在實際解題過程中，必須明確已知條件，并在這一基礎上，合理繪制函數圖象，判斷未知條件，從而獲得最終正確的答案。

二、高中數學解題中的函數圖象

（一）選擇題

在高中數學考試中，選擇題是最常見的題目，其分值是總分數的三分之一，并且難度是由淺入深的，一般最后兩道選擇題是難度最大的，并且這類題型主要考察的都是單一知識點。同時，由于其已知條件比較少，需要通過函數圖象的運用，來快速、準確找到解題重點。這樣，不但可以減少解題時間，還能夠保證解題正確率。

例1：已知方程式sinx=sin2x，若（0，2π）是x的區間，求這一方程有（）個解。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：若按照傳統算法來解題，其解題思路如下：先將方程式轉化成sinx=sin2x=2sinxcosx，如果sinx=0，那么x則應該是-π、0以及π;如果sinx≠0，那么2cosx=1，則x應該是-π/3、5π/3以及π/3。由此可以看出，傳統解題方法計算起來比較麻煩，甚至部分同學可能完全沒有思路，同時，在實際解題過程中，很可能忽略（0，2π）這一已知條件，甚至可能因為計算錯誤而使得最終結果出現差錯。但是，通過函數圖象的運用，高中生可以通過直觀圖形準確找到x在（0，2π）范圍內，方程式共有三個解。另外，對于高中生而言，若在選擇題上花費大量精力與時間，那么就會不自覺產生緊張情緒，不利于后續解答順利進行。因此，必須加強對函數圖象的運用，依照已知條件將方程正確表述出來，并通過直觀觀看，迅速找出兩個方程的交點，降低題目難度，節省計算時間，從而促進自身解題效率的提高。

例2：求同時具寶π是最小正周期與圖象關于（π/6，0）對稱兩個性質的函數是（）。

A.y=sin（x/2+π/6）B.y=cos（2x-π/6）

C.y=sin（2x+π/6）D.y=tan（x+π/3）

解析：在解答這類題目時，很明顯高中生必須使用函數圖象。在具體解答過程中，可以先把四個選項中的函數圖象準確繪制出來，并分別驗證題目中的已知條件，將不符合的排除后就能夠獲得最終答案。通過這種方式，不需要進行大量計算，只需要通過直觀觀看與排除法，就能夠選出最終答案，這樣，不但可以節省大量時間，還能夠促進準確率的提升，在考試過程中，高中生可以采取這一方法。

（二）應用題在新課改深化背景下，高中數學知識變得更具有全面性、綜合性，這也就意味著高中生在實際解題過程中，必須全面分析已知條件，合理利用多樣化解題方式，明確解題思路，以此來快速、準確獲得最終答案。通過研究發現，函數圖象可以用來解決不等式、最值、近似解以及值域等問題，其可以將抽象概念具體化，能夠在一定程度上降低題目難度，有利于高中生快速獲得正確答案。

例3：已知不等式|x-5|-1<|2x+3|，那么x取值范圍是多少？

解析：在解答取值范圍這類題型時，若已知條件中含有絕對值，那么很容易會出現解答錯誤、忽略條件等問題，并最終獲得錯誤答案。但是，在函數圖象的作用下，高中生不但可以節省大量解題時間，還能夠全面考慮各種可能情況，避免出現條件遺漏等問題。因此，在具體解答時，可以先將不等式假設成一個函數，即y=|x-5|-1-|2x+3|，這樣，在x-5=0時，x=5;在2x+3=0時，x=-3/2。之后，根據計算結果，可以把x軸分成三部分，并準確繪制出函數圖象，之后，通過交點的尋找，就能夠得到最終取值范圍。 例4：已知方程2^x+x³-2=0，求該方程在（0，1）區間內有幾個實數根。

解析：在具體解題過程中，很多高中生仍然使用傳統方式進行解題，其解題步驟如下：

因為f（x）=2^x+x³-2，

所以f'（x）=2^xIn2+x³>0是恒成立的，

所以在（0，1）這一區間內，函數屬于單調遞增，

同時，因為f（0）=-1，f（1）=1，

所以f（0）f（1）<0，所以方程只有一個實數根。

上述解題步驟雖然正確，但過于繁瑣，若出現不仔細等問題，極易出現錯誤。而函數圖象的運用則可以將復雜、抽象問題變得簡單、具體，有利于快速獲得答案，而且還不易出錯。

首先，可以依照已知條件，將方程轉換成f（x）=2-2^x和g（x）=x³這兩個函數方程，并繪制出相關的函數圖象，之后，可以通過交點的直觀尋找，準確獲得該方程在（0，1）區間的實數根個數。

結論

綜上所述，函數圖象中最基本的數學思想就是數形結合思想，高中生在學習數學知識時，必須加強對函數圖象的運用，有效解決復雜的不等式、最值等問題，找出問題解決的關鍵條件，快速、準確得出答案，從而促進自身學習質量與水平的提升。

【參考文獻】

[1]石燁辰.函數圖象在高中數學解題中的應用研究[J].中國科技投資，2016（34）