正余弦定理的一體化教學研究

楊旭

【摘 要】正弦定理和余弦定理搭建了三角形邊和角的橋梁，實現了邊角之間的轉化，直接運用它，可以直接求解三角形，靈活地變形并與其他知識結合，可以解決現實生活中的問題。

【關鍵詞】正弦定理；余弦定理；教學；三角形

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）10-0016-01

一、正余弦定理

正弦定理是三角形學中的基本定理，它表示：在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑。如圖1，是一個三角形，其正弦定理的公式表達式是：

余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關系的數學定理，其公式表達式是：

二、教學重點與難點

正弦定理的探索和證明及其基本應用。新知探究

1.提出問題：三角形中有大邊對大角，小邊對小角。能得到這個邊、角關系的準確量化嗎？

2.解決問題：回憶直角三角形中的邊角關系，根據正弦函數的定義有：

c=a/sin A，c=b/sin B， sin C=1. a/sin A = b/ sin B= c/ sin C

問題：這個結論在任意三角形中都成立嗎？當△ABC 是銳角三角形時，設邊 AB 上的高是 CD，根據銳角三角函數的定義，有 CD=asin B，CD=bsin A。

由此，得a/ sin A= b/ sin B， 同理可得c /sin C= b/ sin B，故有a/ sin A= b/sin B=c/ sin C

同理可得在鈍角三角形中該結論仍然是成立的。從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等。

正弦定理：a/ sin A= b/sin B=c/ sin C

一般地， 我們把三角形的三個角 A，B，C 和三條邊 a，b，c 叫作三角形的元素，已知其中幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形。

例 1 在 △ABC 中 ，a，b，c 分 別 是 角 A，B，C 的 對 邊 ，c =√6，a=2，C=120°，解三解形 。

解：由正弦定理a/ sin A =c/ sin C可得 sin A=asin C/c=2sin120°/√6=√2/2

∴A=45°或 135°，∵c>a∴C>A∴A=45°，B=180°-（A+C）=15°，由正弦定理a/ sin A= b/sin B可得 b= asin B/sin A =2sin15°/ sin45°=√3-1

三、正余弦定理的應用

1.測量距離問題。

在解決距離問題時，需要先選取合適的輔助測量點，然后構造出三角形，進而轉化成三角形的邊角關系，最后利用正余弦定理來解決。測量距離的問題一般分為兩點間不可通也不可達、兩點間可視但不可通和兩點可視但均不可達三種情況。按照解決測量問題的方法，我們可以轉化為數學模型，構造出一個三角形，再通過正余弦定理求解。

1.1 兩點間不可通也不可達。如圖 2所示，隨機選取不同于 A、B 兩點的點 C，構造出△

ABC，根據余弦定理，求得

1.2 兩點間可視但不可通。第二種情況是兩點可視但不可通，如圖 3所示，假設這是一條小河，則在小河的一邊任意選擇點 C，構造出△ABC，再由正弦定理得：AB/sinC=BC/sin（π-B-C），化簡得AB= BCsinC/sin（π-B-C）。

2.測量高度問題。

對于高度問題一般可以轉化為三角形的邊角問題，有時候還需要結合幾何知識，而對于高度問題，可以分為底部可達和不可達兩種情況。如圖4，是底部可達的情況，可求得高度：

第二種情況，我們需要自己構造新的三角形，如圖5所示，我們可以任意找兩點C、D，利用測量儀器，可分別測出∠ACD=α，∠ADB=β。首先，在△ACD中，可利用正弦定理，AD/sinα=CD/sin（β-α），則AD=αsinα/sinβ-α。最后在直角△ABD中，AB=ADsinβ=αsinαsinβ/sinβ-α。

四、教學建議

教師在平時的教學中應重視學生的常規思維訓練并使其牢固掌握通性通法，使學生能夠在題中的已知信息中尋得未知量的表示形式并根據題目正確選擇使用正弦定理或余弦定理。涉及sin A或sin B或sin C時要聯想到正弦定理，涉及cos A或cos B或cos C時要聯想到余弦定理。需要教師注意的是，這只是一種幫助學生思考的定式，有時候也會存在不同的情況，不過這種定式思維對于應付考試還是大有裨益的。

應引導學生對正、余弦定理的內涵形成正確而深刻的認識，使學生在實際應用中能夠正確而快速地作出選擇。教師在教學中完全可以放手讓學生多加練習并使學生的思維得到拓展。不過，教師在此類題目的解題教學中也應強調解題思路的辨析，否則學生往往可能產生定理運用混亂并盲目做題的行為。

對兩個定理的變形進行反復訓練，使學生能夠牢固掌握這幾種形式。教師在實際教學中可以引導學生自己動手對兩種定理進行變形，學生在自己進行變形練習的過程中能夠形成更好的記憶。

正、余弦定理是解三角形的重要定理，在幾何證明中也有廣泛應用。在一些較復雜的幾何題目中，邊角關系并不明顯，往往角之間存在某種易被忽視的關系（如互補、對頂角等），這種關系為應用正、余弦定理解題搭建了橋梁。因此，在解決一些復雜幾何問題時，注意到這些易被忽視的特殊角關系，在解題過程中應用正、余弦定理，往往能夠出奇制勝。

參考文獻

[1]蔣克于，張夏飛.例談高考中對正、余弦定理的考查[J].中學數學，2017（01）：92-94.

[2]賈艷梅，周洪波，彭世林.正余弦定理在天線方位角標校中的應用[J].河北省科學院學報，2016，33（03）：29-34.

[3]董強.《正余弦定理的應用（一）——距離測量問題》教學設計[J].中小學教學研究，2015（12）：48-50.

[4]徐葉紅.正余弦定理在高考中的應用[J].課程教育研究，2015（33）：145-146.