拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

李帥

（河南師范大學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453007）

拉格朗日乘數(shù)法是解決最優(yōu)化問題的重要方法之一。由于在經(jīng)濟(jì)學(xué)中都是具體的實(shí)際問題，比如，消費(fèi)者效用最大化、成本最小化等，它們的最值是否存在是一目了然的，所以拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中有著廣泛地應(yīng)用。

一、拉格朗日乘數(shù)法在消費(fèi)者效用最大化上的應(yīng)用

實(shí)例1 已知某消費(fèi)者的效用函數(shù)為U=X1X2,兩商品的價(jià)格分別為,P1=4,P2=2消費(fèi)者的收入為M=80。現(xiàn)在假定商品1的價(jià)格下降為P1=2。求由商品1的價(jià)格P1下降所導(dǎo)致的替代效應(yīng)，使得該消費(fèi)者對商品1的購買量發(fā)生多少變化？

解 該問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)極值問題，首先求在原來價(jià)格不變的情況下的效用大小。

二、拉格朗日乘數(shù)法在成本最下化上的應(yīng)用

這個(gè)問題的拉格朗日函數(shù)為：

聯(lián)立求解得：

三、小結(jié)

本文列舉了拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中應(yīng)用的兩個(gè)實(shí)例。從中可以看出，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及到有約束條件的最值問題可以用拉格朗日乘數(shù)法來完成。因此，在解決某些經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，可以利用數(shù)學(xué)知識的工具，從而起到事半功倍的作用。