基于Beer-Lambert定律的鋼管壁厚測量

李長赟，許同樂，荊建蒙，臧傳志

(山東理工大學 機械工程學院,山東 淄博 255049)

鋼管在運輸、機械等各個領域都具有重要作用，但是鋼管壁厚測量仍存在不足。目前非接觸測量已成為一種趨勢[1]，且曲面形狀的測量研究也取得了很好的效果[2]。傳統接觸式卡尺手工測量只能測量鋼管的邊緣壁厚，而且受人為因素影響，測量效率低、誤差大。近年來，國內外諸多學者將超聲波探測、圖像處理等技術應用到鋼管壁厚測量[3-4]，都取得了不錯的效果。本文根據Beer-Lambert定律，利用X射線穿過介質時的能量衰減，采用CT系統確定鋼管壁厚，以期為鋼管壁厚的測量提供一種方案。

1 數學模型的建立

1.1 X射線測厚原理

由于鋼管制作時要求材料剛性良好、組織均勻，因此可以將鋼管視為均勻介質。被測鋼管壁厚記作l，被測鋼管在某處對X射線的線性衰減系數為μ，經查閱資料，μ在0.031 3 mm-1附近波動。入射與透射X射線的光強度分別為I0和I。由于鋼管截面的對稱性，根據Beer-Lambert定律[5]

I=I0e-2μl

(1)

CT系統在工作時，探測器的接收信息記作p，介質的吸收率記為λ。將(1)式對數化處理，發現探測器接收信息p與鋼管壁厚l成線性關系

(2)

其中探測器接收信息p為已知量，介質吸收率λ為待定量，這里采用基于R-L濾波函數的濾波投影算法[6-8]對介質吸收率進行確定。對X射線各個方向上的接收信息pθ(t)進行傅里葉變換，得到

(3)

對Fθ(ω)乘以一維權重因子之后進行傅里葉逆變換得到

(4)

式中H為濾波函數，這里采用R-L濾波函數[9]。

將X射線各個方向上的修正投影函數fθ(t)作反投影計算，得到斷層圖像f(x,y)，且

(5)

(6)

被測鋼管在某處對X射線的線性衰減系數μ與介質吸收率λ的關系式為

μ=K2λ

(7)

將式(7)代入式(2)中，整理可得鋼管壁厚l的表達式

(8)

式(8)中消去了線性衰減系數，因此線性衰減系數的波動對鋼管壁厚的測量結果影響不大。

1.2 X射線測厚與超聲波測厚誤差分析

X射線測厚主要考慮X射線未穿過鋼管截面中心產生的誤差，即誤把距離鋼管截面中心(-d,d)的射線作為通過鋼管截面中心的射線。誤差計算公式為

(9)

式中:R為鋼管外半徑，d為探測器間距。

超聲波測厚主要考慮計數器的計數誤差，即

(10)

式中:f為計數器晶振頻率，這里為300 MHz;v為超聲波在鋼管中的傳播速度，取5 200 m/s。

根據式(9)、(10)，求出壁厚為2.5～5 mm;外半徑為10～110 mm鋼管的壁厚測量誤差，結果如圖1所示。

圖1 兩種測厚方法的測量誤差Fig. 1 Measurement error of two thickness measurement methods

可以看出，鋼管壁厚在2.5～5 mm時，X射線測厚的精度高于超聲波測厚精度。由于此時未考慮X射線測厚時，拉東變換存在的誤差，所以將這兩種測厚方法進行仿真，再將仿真結果進行比較。

2 CT系統的參數標定方案

測量之前需要對CT系統進行參數標定，確定CT系統的旋轉中心、探測器單元間距和X射線的方向，為此設計如2、圖3所示標定模型對其進行參數標定。

圖2 模型二維視圖 圖3 模型三維視圖Fig.2 2-D view of model Fig.3 3-D view of model

圖2中，各相鄰小圓的圓心與大圓圓心的連線夾角均為60°，且各小圓的直徑各不相同，各相對兩圓直徑之和不相等。

CT系統參數標定和鋼管壁厚測量時，按照如圖4所示流程圖步驟，標定系統參數完成后，對待測鋼管進行斷層掃描成像，得到鋼管截面的原始圖像，然后進行濾波、降噪處理，改善截面圖像質量，最終確定鋼管壁厚的準確值。

圖4 系統標定及壁厚測量流程圖Fig.4 Flow chart of system calibration and wall thickness measurement

2.1 探測器單元間距的標定

根據標定模型任意一個圓的接收信息確定線性衰減系數，然后根據圖5確定探測器間距與兩相鄰探測器接收信息之間的關系，即

(11)

式中:Pi、Pi +1為兩相鄰探測器的接收信息；R為圓的半徑；L1、L2為兩相鄰X射線經過介質的厚度。將線性衰減系數代入(11)式得到探測器單元間距。

圖5 探測器單元間距示意圖Fig.5 Diagram of detector unit spacing

2.2 X射線方向的標定

規定水平向右方向為0° X射線方向，如圖6所示，根據任意兩圓連心距與連心距實際投影長度的關系確定X射線各個方向。根據探測器單元間距可確定連心距實際投影長度D′。當X射線方向與0°方向所成正角θ不超過270°時

(12)

當X射線方向與0°方向所成正角θ在區間[270°,360°]內時

(13)

圖6 旋轉角度示意圖Fig.6 Diagram of rotation angle

2.3 旋轉中心的標定

對探測器單元從1到n進行編號，探測器中垂線過旋轉中心。按照相對兩圓直徑之和的長度大小，將模型分成位置1、位置2、位置3等3個特殊位置。

位置1相對兩圓直徑之和最大，位置2相對兩圓直徑之和最小，位置3相對兩圓直徑之和居中。

(14)

圖7 位置1示意圖Fig.7 Schematic diagram of location 1

當模型旋轉至位置2時，X射線與水平位置夾角為30°，此時旋轉中心沿坐標軸的偏移量為

(15)

當模型旋轉至位置3時，X射線與水平位置夾角為-30°，此時旋轉中心沿坐標軸的偏移量為

(16)

如果標定結果滿足式(17)則標定完成，如果不滿足，則調整儀器重新進行標定,即

(17)

3 鋼管壁厚測量仿真

經標定，探測器單元間隔為d=0.276 8 mm，系數K1=2.05，增益倍數K2=1.772 5。本文選擇φ273×10 mm的鋼管，分別采用X射線(見圖8)和超聲波進行仿真實驗，其中X射線能量為2 MeV，鋼管對2 MeV的X射線的線性衰減系數為0.031 3 mm-1，超聲波測厚仿真時，選擇局部水浸法[10]檢測鋼管壁厚，耦合劑為水，水層深度30 mm，計時器晶振頻率為300 MHz，計時間隔為0.04 μs。

圖8 鋼管某一截面投影軌跡及反演結果Fig.8 Projection locus and inversion result of a cross section of steel pipe

根據式(8)可得鋼管壁厚為10.01 mm。將測量結果與超聲波測厚仿真結果對比(表1)，發現兩種方法測量誤差基本相等。

表1 超聲波測量與X射線測量對比
Tab. 1 Comparison of ultrasonic and X-ray measurements mm

測量方法鋼管參數外徑壁厚測量結果超聲波273109.98X射線2731010.01

為進一步探究該測量方法的準確性，對壁厚在2.5～5 mm的鋼管進行測厚仿真，得到兩種方法對不同型號鋼管的測量誤差變化趨勢(圖9)。

圖9 不同壁厚鋼管測量誤差的變化趨勢Fig.9 Measuring error variation trend of steel pipe with different wall thickness

由圖9可知，X射線測厚和超聲波測厚的誤差均隨鋼管壁厚的增大大致呈減小趨勢，這兩種方法對壁厚為2.5～5 mm的鋼管測量誤差基本相等。

4 結束語

根據BEER-LAMBERT定律和濾波反投影算法提出采用X射線(CT系統)測量鋼管壁厚的方法，減少了人為因素在測量過程中的影響，對實際測量鋼管壁厚有一定意義。當測量厚度為2.5 ～5 mm時，測量誤差可保持在3%以內，與超聲波測厚基本相同。新的CT系統標定模型減少了因旋轉中心偏移而產生的測量誤差，但X射線源抖動對圖像重建產生的影響需通過濾波降噪處理消除。X射線測厚還有待研究，在應用時需做好防輻射措施，工作室要定期通風，測量人員要提高防輻射意識。