踐行問題驅動教學：從習題走向“問題”

☉江蘇省蘇州工業園區星匯學校 李艷敏

從深刻理解初中數學知識來看，初中內容多屬于幾百年之前的數學內容，而且有很多數學習題的“歷史”也很長，有老師提出數學教學中對于例、習題的選擇不宜過分追所謂的“網紅題”是有一定道理的.結合多年教學經驗，筆者認為，“經典問題”（本文所提出的“經典問題”是指在不同時期教材上都曾出現過的一些例、習題）的教學研究是值得大家重視的.本文結合兩則習題教學通過改編設計成“問題”教學的案例，展開對“經典問題”教學的思考，供研討.

一、從習題走向“問題”的教學案例

案例1：平行與平分的組合圖形教學.

習題1：如圖1，已知∠ADE=70°，DF平分∠ADE，∠1=35°，求證：DF∥BE.

證明：∵DF平分∠ADE（已知），

∵∠ADE=70°（ ），

∴________=35°.

∵∠1=35（° ），

∴_____=_____（ ）.

∴_____（ ）.

圖1

教學組織：如果安排學生練習之后核對答案，并弄清每一步的推理依據就完成該題的教學，則是典型的“入寶山而空返”（羅增儒 語）.教過多年七年級的老師（或者練習多本不同練習冊也有此體會）會知道，這是一個經典圖形，考查角度、變式設問多樣.如何實現這個“經典圖形”教學效益的最大化？有如下一些建議：

問題1：如圖1，已知∠ADE=68°，DF平分∠ADE，∠1=34°，求證：DF∥BE.

先安排學生獨立思考，學生貫通思路后，分別請兩個學生上臺講解思路，再由各個學生書寫過程，并投影批改.

接下來，跟進系列變式，促進學生深入思考、學深、學透、學活：

變式1：（一般化）如圖1，已知∠ADE=2∠1，DF平分∠ADE，求證：DF∥BE.

教學組織：學生練習之后，教師指出原問題中的34°、68°只是揭示了∠ADE=2∠1，并無其他特別意義.

變式2：（條件、結論置換設問）如圖1，已知∠ADE=2∠1，DF∥BE，求證：DF平分∠ADE.

變式3：（增加解題層次設問）如圖1，已知∠ADE=2∠1，DF⊥AC，BE⊥AC，求證：DF平分∠ADE.

變式4：（增加解題層次設問）如圖1，已知∠ADF=∠EBC，DF⊥AC，BE⊥AC，求證：BE平分∠ABC.

最后，還可安排班級前三分之一水平的學生由這個圖形編擬一道幾何證明題，其余學生整理上述問題及系列變式的解題思路、完善課堂筆記.

隨想：“習題1”這樣的填空題在很多教輔資料或習題單式的導學案中經常出現，如果我們在備課時，將其開發成問題串式的題組，以系列變式與追問的形式呈現（或成果擴大式的問題設計），就是真正用心在備課了，否則備課時只是選題填滿一張8開紙的習題單式學案印發，教師本人也只是無趣的重復勞動，教學即研究終是一句空話.

案例2：正方形經典習題教學.

習題2：如圖2，點E為正方形ABCD的邊BC的中點，連接AE，作∠AEF=90°，交正方形的一個外角平分線于點F.求證AE=EF.

教學組織：這道習題不少教師講評之后都會針對點E進行位置變式，達到一題多變的教學追求.事實上，除了一題多變，這道習題還有很多不同解法，即一題多解也應該在這道習題教學時得到體現.以下就圍繞這道習題進行系列設計.

問題2：如圖2，點E為正方形ABCD的邊BC上任意一點，連接AE，作∠AEF=90°，交正方形的一個外角平分線于點F.求證AE=EF.

教學組織：獨立思考后，很多學生容易想到一種思路，即如圖3，在AB上截取BM=BE，構造等腰直角三角形BME，再證△AEM △ECF即可.這時可預設以下兩種思路，“留白式”提供給學生完善思考.

圖2

圖3

小明的思路：如圖4，在AB的延長線上截取BN=BE，構造等腰直角三角形BNE……進一步可以證明四邊形CFEN是平行四邊形……

小敏的思路：如圖5，連接AC，作EG∥AB，交AC于G點……

圖4

圖5

教學組織：安排學生閱讀理解之后，完善“小明的思路”“小敏的思路”，先在小組內交流，再由小組推薦一個學生代表在全班匯報展示他們對“小明的思路”“小敏的思路”的補充與完善.

問題變式：當點E在線段BC的延長線上時，其余條件不變，繼續研究AE與EF的數量關系.

拓展問題：如圖6，將正方形ABCD放在平面直角坐標系中進行研究，設點B與坐標原點重合，正方形的邊長為2.點E（m，0），連接AE，以AE為一條直角邊作等腰直角三角形AEF，使∠AEF=90°.設點F的坐標為（x，y），分析y與x之間的函數關系式.

設計意圖：通過變式問題與拓展問題，使得該題的教學功能得到大大加強，學生對這類正方形問題的深層結構也有了更深的理解.

圖6

二、關于經典問題教學的進一步思考

1.深刻理解教學內容，精準選取經典問題

當前不少數學教育研究者都積極倡導在深刻理解數學的基礎上開展數學教學內容的選擇和課堂教學設計，否則用力過多就有可能走偏方向，因為作為“教什么”的教學內容永遠是第一位的.所以關于經典問題的選取，需要基于我們對初中數學教學內容的深刻理解，找準一些經典問題或經典圖形，并從不同角度進行改編變式或生長拓展.上文“習題1”就是這樣的經典問題，并且該題的圖形也是一個經典圖形.從這個意義上說，能精準識別（也即“看得出”）經典問題也是需要“眼力”的.

2.基于年級學情出發，精心預設變式問題

在選定“經典問題”之后，就需要針對這些問題進行變式改編與生長拓展.這里需要從學生已有解題經驗出發，想清學生所在年級，已學習哪些章節，有了哪些知識基礎，然后選定一個相對簡單的問題，讓絕大多數學生都能順利解決.這一點非常關鍵，因為我們常常見到有些導入問題非常繁雜，多數學生在處理這類問題的初始階段就被“拒之題外”，對后續變式改編、生長拓展的參與和研究非常不利.上文中“問題2”是學生在學習正方形之后非常熟悉的一類幾何習題，在學習全等時就有相關輔助線構造的經驗.所以選擇從這個問題出發，學生分組討論之后再開展變式改編就是基于學情而精心預設的.

3.從習題走向“問題”，踐行問題驅動教學

從上文案例梳理可以看出，我們先呈現的是“習題”，然后改編設計成“問題”，一字之別，意義重大.從習題走向“問題”，背后是解題教學價值觀的不同.具體來說，習題教學往往是淺層的，上一題講評之后接著是下一題，屬于應試教學的題海訓練；而“問題”教學就是開展“問題驅動”教學，帶有研究性味道，是引導學生從熟悉的問題背景出發，用“探索未知世界”的方式去研究新問題、不同視角的問題，就解題教學來說，實現了“成果擴大”的追求，教學品質顯然更高一些.

三、寫在后面

最近看到朋友圈一些同行轉發的某知名教育學專家一句話“他們都往大處做，往高處走，我估計了一下自己的能力，覺得自己只能往小處做，往深處走”，深有同感.對于一線教師來說，每天面對最多的就是習題，解題、批改作業、選題、編題、講評是教學常態，要把每天都在做的“習題”研究想深、想透，讓我們選題的眼力再敏銳一些，然后從習題教學走向“問題”教學.想來，我們要修煉的專業基本功（比如，深刻理解數學、理解學情、理解教學、命題能力等）還有很多.