基于分段網格模型的井筒與油藏耦合流動分析

摘 要：以往求解井筒-油藏耦合的流動問題時，需要將井筒與油藏互相作為邊界條件進行分段迭代求解，但由于井筒內的管流與油藏內的滲流流動形式不同，耦合計算存在困難。本文借鑒等效滲流法和多段井模型的思路和方法建立了分段網絡模型，把油藏和井筒內的流體流動過程抽象簡化為分段上的流量和其兩端節點壓力的關系式，對整個耦合系統建立流動方程并用牛頓迭代法數值求解。利用所建模型計算一個采油的實例，并將計算結果與CMG模擬結果進行比較，以驗證模型的可靠性。

關鍵詞：熱采水平井；井筒-油藏耦合；分段網絡模型；分段流動；流動分析

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.09.075

0 引言

水平井開采過程中，井筒管流和油藏滲流之間互相影響，互為邊界條件，需要將井筒和油藏耦合進行考慮才能更為詳細和準確地描述其生產動態。而在求解井筒-油藏耦合問題的方法中，Stone等人[1]首先建立了一個用于模擬油藏多孔介質滲流和井筒管流的全隱式方法，并將其井筒模型與Coats等人[2]的熱采油藏模擬器相結合。其后研究者在此基礎上進一步考慮了管內流體的多相流動和傳熱過程[3-6]。但是，由于井筒管流與油藏滲流的流動方程形式不同，耦合區域的求解存在諸多困難。為此，Collins等人[7]提出將水平井筒處理為油藏第二“孔隙度”，吳淑紅等人[8，9]基于此建立了“等效滲流模型”，他們將井筒內的管流等效視為多孔介質中的滲流，這樣在數學模型上兩種流動的流動形式獲得了統一，且交界面連續條件容易滿足。他們并推導出了不同流態下井筒的等效滲透率表達式。

但是上述方法在計算的過程中，井筒模型都有一定程度的簡化。為準確模擬結構更為復雜的井，Holmes等人[10]提出了多段井模型，該模型將井筒劃分為若干多段，每段的節點和管作為獨立的項處理，形成網絡系統，每個井段上有壓力、體積內能等變量，也允許有不同的流體。其后研究者在此基礎上，將該模型應用于熱模擬[11，12]和水力壓裂[13，14]等情形。

本文借鑒等效滲流法的思想和多段井模型的方法，建立了分段網絡模型，并針對采油中的流體流動過程進行了研究。模型將井筒管流和油藏滲流過程都表示為分段流量和分段兩端節點的節點壓力的關系式，這樣兩種形式的流動都統一為分段流動，然后對整個系統列流動方程組，利用牛頓迭代進行法數值求解。

1 分段網絡模型

在分段網絡模型中，油藏與井筒均被抽象簡化為若干分段與節點的組合，如圖1所示。其中，分段代表流體的流動路徑，分段之間通過節點相連。

1.1 分段網絡模型元素和其屬性

分段網絡模型包括分段和節點兩類基本元素，流動過程中的變量分別定義其上。其中，分段上定義有分段流量、分段流速、分段壓降、分段摩阻等變量，而分段流速、分段壓降等是有方向性的，他們的方向根據事先設定的分段方向而定，并不一定與分段中流體的流向相同，當這些變量的值為負時，表明它們的方向與分段的設定方向相反。節點上定義的變量有節點壓力、節點流量等，其中節點流量也具有方向性，其方向約定以流出節點為正，流入節點為負。

分段網絡模型中的分段和節點自身亦有一定的屬性。其中，分段的屬性包括分段長度、分段直徑（非圓管時采用當量直徑）、分段橫截面積、分段粗糙系數（管流屬性時表示管道粗糙程度，與管道材料有關），分段方向（并非流向）、起端節點、終端節點等；節點的屬性包括節點位置、節點與分段之間的關聯關系等。

1.2 分段網絡模型的數學描述

我們取分段網絡中的某一節點（i，j）及其周圍的節點，以及這些節點之間的分段，分析井筒-油藏耦合中的流體流動，如圖2所示，這里我們以節點壓力和節點流量作為變量。求解思路為：首先以節點為研究對象，根據質量守恒方程，將節點處的流量表示為與之相聯之分段的分段流量的關系式；然后以分段為研究對象，根據壓力損失公式將分段流量表示為分段壓降的函數，又由于分段壓降是分段兩端節點的節點壓力的函數，于是可以得到由節點壓力表示節點流量的方程組。

模型的具體數學推導及描述如下：

1.2.1 節點流量方程

首先以某一節點為研究對象，參考圖2，根據質量守恒定律，流入節點的所有流量之和應等于流出節點的所有流量之和。而在分段網絡模型中，所有節點都與一條或多條分段相關聯，流入或流出節點的流量即是分段上的流量。于是，對于分段網絡模型中的任意一個節點n有：

式中第一項為流入或流出節點的流量之和，其中，Sn為節點n的關聯集，其元素包括所有與節點n相關聯的分段；qm為Sn中某個分段的流量，m3/s；N為分段網絡模型中的節點總數；式中±的取值，以流出節點為正，流入節點為負。第二項Qn為節點n處的源項，m3/s。

上式即為節點的流量方程，可知節點流量是分段流量的函數。

1.2.2 分段流量-壓降關系式

然后以分段為研究對象。根據分段內流體流動的沿程壓力損失公式，壓降為流量的函數，變換后將分段流量表示為分段壓降的函數，即：

（2）

此即為分段的流量-壓降關系式，其中，q即為分段流量，m3/s；Δp即為分段壓降，Pa。

對于不同類型的分段——管流、節流或滲流，由于流動形式不同，他們的流量與壓降的關系式各不相同。管流段的流量-壓降關系為，節流段的流量-壓降關系，滲流段的流量-壓降關系式為或。上述各式中，ρ為流體密度，kg/m3；D為管柱的（當量）直徑，m；λ為管的摩阻系數，無量綱。sign為符號函數，用于判斷壓降Δp值的正負，若Δp為正，則sign函數返回值1，否則返回-1。Cd為流量系數，無因次；A為分段橫截面積，m2。k為地層滲透系數，m2；μ為流體粘度，Pa·s。

1.2.3 分段的壓降方程

在分段網絡模型中，分段兩端為節點，分段的壓降等于分段兩端之節點的壓力之差，于是，對某一分段i，其壓降可以表示為：

1.3 模型數值求解方法

從上述模型推導過程中我們可以看到，由于管流、節流的流量-壓降關系是非線性的，于是所得到的節點流量-壓力方程組也是非線性的，需要利用牛頓-拉夫遜算法來數值求解上述非線性方程。

其中，下標n、s、w、e分別表示節點（i ， j）的上方、下方、左側和右側，方位參考圖3。同樣，式對于不同的節點，形式也有不同，可相應變換得到。

于是，對分段網絡模型的每一個節點，根據與該節點相連的不同分段和節點，可按照式列出雅克比矩陣中對應位置上的偏導數，進而求解方程，得到井筒和油藏中各個節點處的壓力和各個分段的流量，亦即獲得了井筒-油藏耦合體系中的壓力、流量分布。

1.4 邊界條件

根據數學理論，方程組可解的充分條件是方程的數量與未知量的數量相等。在上述的分段網絡模型中，分段上的未知變量僅有分段流量，節點上的未知變量有節點壓力和節點流量。這里，我們設x方向和y方向的節點數分別為Nx和Ny。于是，（Nx-1）*（Ny-1）個分段上的未知流量可由相同數量的分段方程求得；而Nx*Ny個節點未知壓力和Nx*Ny個節點未知流量共2Nx*Ny個變量卻不能同時由Nx*Ny個節點方程求出。不過，若已知節點壓力則可求得節點流量，反之亦然。同時，作為方程組可解的必要條件，分段網絡中需要至少有一個定壓節點。

2 模型驗證

為驗證本文所建的數值模型，將模型計算結果與CMG數值模擬結果進行對比。考慮一面積為390m×200m的儲層的采油過程，計算模型的尺寸如圖3所示，有效厚度為15m，孔隙度0.3，滲透率1000mD，地層原始壓力9.88MPa，油藏條件下油的密度和粘度分別為800kg/m3和5cP，水的密度和粘度分別為1000kg/m3和1cP。其中，水平井長度為150m，位于儲層中部，距地面1007.6m，套管管柱內徑157mm；完井方式為射孔完井，為簡化問題，每隔10m設置一個直徑為12.5mm的孔眼。采油量為200m3/d，開采時間10天。

模型離散示意圖如圖3所示，其中，平行于井軸向定義為I向，垂直于井軸向定義為J向。于是，整個模型在兩個方向上分別離散為39和20個分段，位于儲層中部的井離散為15個分段，井分段之間的節點與射孔孔眼相對應，儲層四周假設為定壓邊界條件。采油過程中，流體從各個孔眼沿程流入管柱，最后由跟端采出。計算結果對比如下各圖所示：

圖4所示為本文模型和CMG數值模擬所得到的壓力沿井及其延長線的分布曲線對比，由圖可知，采油過程中井附近區域的壓力比儲層內的壓力低，這一壓差可將油驅入采油井中，且由圖可看出，兩種計算結果的誤差很小，具有良好的一致性。

圖5所示為近井儲層內壓力沿I向的分布曲線，其趨勢與圖4中的類似，儲層壓力也由于井內低壓而降低。且由圖可知，兩種方法所得到的儲層內壓力分布雖有差別，但其誤差在可允許范圍內。圖6為與井筒處于相同I坐標部分的對比，由圖可知該部分壓力的分布趨勢是一致的。

圖7所示為本文模型和CMG數值模擬所得到的近井儲層內J向流量沿I向的分布對比。圖8為與井筒處于相同I坐標部分的對比，由圖可知，該部分流量分布趨勢是類似的，在井的跟端和趾端，采油量明顯比井中部分高，呈U型分布。這是因為跟端和趾端附近的油層范圍比中間部分要大。

圖9所示為本文模型和CMG數值模擬所得到的近井儲層內I向流量沿I向的分布對比。圖10為與井筒處于相同I坐標部分的對比。由圖可知，兩種方法所得的流量結果分布趨勢是類似的，且在與井筒處于相同I坐標的部分，兩種方法計算的結果誤差在允許范圍內。

3 結論

（1）建立了計算井筒油藏耦合流動問題的分段網絡模型，該模型將井筒和油藏內的流動都等效為分段上的流動，推導出分段上的流量和分段兩端節點上的壓力之間的關系，從而得到整個系統的分段流量-節點壓力關系式，利用牛頓發迭代法求解。

（2）與成熟的油藏數模軟件CMG的實例計算結果對比表明，本文所建立的分段網絡模型在計算井筒-油藏耦合問題時，具有一定的可靠性。

參考文獻：

[1]Stone T W，Edmunds N R，Kristoff B J.A Comprehensive Wellbore/Reservoir Simulator[J].1989.

[2]Coats K H.A Highly Implicit Steamflood Model[J].Society of Petroleum Engineers Journal，1978，18（05）：369-383.

[3]Livescu S，Durlofsky L J，Aziz K，et al.Application of a new fully-coupled thermal multiphase wellbore flow model[C].SPE Symposium on Improved Oil Recovery.Society of Petroleum Engineers，2008.

[4]Livescu S，Durlofsky L J，Aziz K，et al.A fully-coupled thermal multiphase wellbore flow model for use in reservoir simulation[J].Journal of petroleum Science and Engineering， 2010，71（3-4）：138-146.

[5]Mozaffari S，Nikookar M，Ehsani M R，et al.Numerical modeling of steam injection in heavy oil reservoirs[J].Fuel，2013： 185-192.

[6]Li M，Chen H，Zhang Y，et al.A Coupled Reservoir/Wellbore Model to Simulate the Steam Injection Performance of Horizontal Wells[J].Energy technology，2015，3（05）：535-542.

[7]Collins D，Nghiem L，Sharma R，et al.Field-Scale Simulation Of Horizontal Wells[J].Journal of Canadian Petroleum Technology，1992，31（01）：14-21.

（下轉第97頁）

（上接第87頁）

[8]吳淑紅，劉翔鶚.水平段井筒管流的簡化模型[J].石油勘探與開發，1999（04）：64-65.

[9]吳淑紅，沈德煌，李春濤等.熱采井簡變質量流與滲流耦合的數值模型[J].中國科學技術大學學報，2004，34（z1）：32-38.

[10]Holmes J A，Barkve T，Lund O.Application of a Multisegment Well Model to Simulate Flow in Advanced Wells[C].European Petroleum Conference. Society of Petroleum Engineers，1998.

[11]Stone T W，Bennett J，Law D H S，et al.Thermal simulation with multisegment wells[C].SPE Reservoir Simulation Symposium.Society of Petroleum Engineers，2001.

[12]Semenova A P，Livescu S，Durlofsky L J，et al.Modeling of multisegmented thermal wells in reservoir simulation[C].SPE EUROPEC/EAGE Annual Conference and Exhibition.Society of Petroleum Engineers，2010.

[13]Edwards D A，Cheng N，Dombrowsky T P，et al.Representing hydraulic fractures using a multilateral，multisegment well in simulation models[C].SPE Reservoir Simulation Symposium. Society of Petroleum Engineers，2013.

[14]Wilson A.Technique Uses Multilateral，Multisegment Wells To Represent Hydraulic Fractures[J].Journal of Petroleum Technology，2014，66（07）：102-105.

[15]王海靜.水平井井筒—油藏耦合問題的理論與試驗研究[D].南京航空航天大學，2012.

[16]陳會娟，李明忠，狄勤豐等.多點注汽水平井井筒出流規律數值模擬[J].石油學報，2017，38（06）：696-704.

[17]王海靜，薛世峰，仝興華等.井筒壓降對底水油藏水平井生產動態的影響[J].斷塊油氣田，2016，23（01）：73-76.

作者簡介：任星宇（1993-），男，山西文水人，碩士研究生，從事地下油氣田開發與稠油熱采等方面工作。