灰色馬爾科夫模型在我國肺結(jié)核發(fā)病率預(yù)測中的應(yīng)用

王雅文　沈忠周　嚴(yán)寶湖　楊銀

[摘要] 目的 探討應(yīng)用GM（1，1）灰色預(yù)測模型和GM-Markov模型在全國肺結(jié)核發(fā)病率預(yù)測中的可行性，為制定措施加快降低結(jié)核病發(fā)病率提供參考。方法 收集2007—2017年全國肺結(jié)核數(shù)據(jù)，建立模型擬合2007—2016年數(shù)據(jù)并預(yù)測2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率，評價兩個模型的擬合及預(yù)測效果。 結(jié)果 擬建立的GM（1，1）模型為x（1）（k+1）= -1 960.635 9e（-0.0441k） +2 049.185 9;GM（1，1）模型與GM-Markov模型的擬合平均相對誤差分別為2.08%和1.11%;預(yù)測2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率相對誤差分別為6.06%和3.40%。GM-Markov模型的擬合和預(yù)測效果優(yōu)于GM（1，1）模型。 結(jié)論 GM-Markov模型較GM（1，1）灰色預(yù)測模型更適用于預(yù)測我國肺結(jié)核發(fā)病率。可借助該模型預(yù)判我國肺結(jié)核流行趨勢 ，指導(dǎo)相關(guān)衛(wèi)生資源分配。

[關(guān)鍵詞] 肺結(jié)核;GM（1，1）;Markov;預(yù)測

[中圖分類號] R19 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1672-5654（2019）02（c）-0176-04

Application of Grey Markov Model in Predicting the Incidence of Tuberculosis in China

WANG Ya-wen1， SHEN Zhong-zhou1， YAN Bao-hu1， YANG Yin2

1.School of Public Health， Peking Union Medical College， Beijing， 100730 China; 2.Department of Pathogenic Biology， Institute of Basic Medical Sciences， Chinese Academy of Medical Sciences， Peking Union Medical College， Beijing， 100005 China

[Abstract] Objective To explore the feasibility of applying GM（1，1） gray prediction model and GM-Markov model in the prediction of tuberculosis incidence rate in China， and provide reference for formulating measures to accelerate the reduction of tuberculosis incidence. Methods The national tuberculosis data from 2007 to 2017 were collected， the model was fitted to the data of 2007 to 2016 and the incidence of tuberculosis in 2017 was predicted. The fitting and prediction effects of the two models were evaluated. Results The proposed GM（1，1） model was x（1）（k+1）=-1 960.635 9e（-0.0441k）+2 049.185 9; the average of the GM（1，1） model was compared with the GM-Markov model errors were 2.08% and 1.11%， respectively; the relative errors of the national tuberculosis incidence in 2017 were predicted to be 6.06% and 3.40%， respectively. The fitting and prediction effects of the GM-Markov model were better than the GM（1，1） model. Conclusion The GM-Markov model is more suitable for predicting the incidence of tuberculosis in China than the GM （1，1） gray prediction model. This model can be used to predict the trend of tuberculosis in China and to guide the allocation of relevant health resources.

[Key words] Tuberculosis; GM （1，1）; Markov; Prediction

結(jié)核病是世界傳染病中致死率較高的一種慢性傳染病，同時結(jié)核病也是艾滋病感染者死亡及因抗生素耐藥所致死亡的主要原因[1]。2017年全球有160萬人死于結(jié)核病，中國是全球30個結(jié)核病高負(fù)擔(dān)國家之一，在2017年結(jié)核病發(fā)病人數(shù)達(dá)83.5萬[2]。結(jié)合桿菌可累及人體全身各個器官，主要侵犯肺部，稱肺結(jié)核。我國是結(jié)核病高發(fā)病國家，政府先后出臺了《結(jié)核病防治管理辦法》《“十三五”全國結(jié)核病防治規(guī)劃》等一系列結(jié)核病管理規(guī)范文件，并取得了一定的成效。由于我國幅員遼闊，人口眾多，即使較低的發(fā)病率也意味著龐大的發(fā)病人數(shù)，因此對結(jié)核病發(fā)病數(shù)進(jìn)行有效的預(yù)測，為疾病管理部門制定策略提供依據(jù)，將有助于加速降低我國結(jié)核病發(fā)病率。

在時間序列分析中，灰色模型預(yù)測常用于呈指數(shù)變化的年度數(shù)據(jù)預(yù)測[3-5]。灰色模型即該模型可對灰色系統(tǒng)內(nèi)的時間序列進(jìn)行處理，建立灰色模型，從而發(fā)現(xiàn)并運用其內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律，預(yù)測未來的發(fā)展趨。一階單變量微分方程（GM（1，1））模型是灰色系統(tǒng)中應(yīng)用較廣泛的預(yù)測模型，該模型可識別并擬合原始數(shù)據(jù)的變化趨勢并預(yù)測[6]。不同于灰色模型無法擬合原始序列的波動，Markov鏈模型能較好地識別并擬合系列中波動，提高預(yù)測的準(zhǔn)確度[7]。

該研究將運用GM（1，1）模型及GM-Markov模型擬合并預(yù)測全國2007—2017年肺結(jié)核發(fā)病率，比較模型效果并為制訂干預(yù)措施提供參考。

1? 資料與方法

1.1? 資料來源

2007—2017年全國肺結(jié)核發(fā)病人數(shù)資料收集自國家衛(wèi)生計生委疾病預(yù)防控制局和國家統(tǒng)計局公布的年度全國法定傳染病監(jiān)測報告，基于上述數(shù)據(jù)建立我國肺結(jié)核年發(fā)病率（/10萬）數(shù)據(jù)庫，用于GM（1，1） 模型及Markov聯(lián)合模型的建立。

1.2? 研究方法

1.2.1 研究數(shù)據(jù)? 以2007—2016年共計十年的全國肺結(jié)核發(fā)病率數(shù)據(jù)作為研究年建立GM（1，1）模型，預(yù)測2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率并與真實值相比較計算模型的預(yù)測誤差。將GM（1，1） 模型對2007—2016年擬合值與實際值相比，計算相對值并以此建立Markov模型。以GM（1，1）-Markov 模型預(yù)測2017全國肺結(jié)核發(fā)病率，計算其預(yù)測誤差并與GM（1，1）模型比較。

1.2.2 GM（1，1）模型的建立過程? ①對原始序列x（0）進(jìn)行一階累加生成累加序列x（1）;②對序列x（1）求均值，得到相鄰均值生成序列y（1）;③根據(jù)累加序列建立一階線性微分方程，該模型即GM（1，1）模型：dx（1）/dt+ax（1）=u，其中，a為發(fā)展系數(shù)，u為灰色作用量;④累減還原求解，得原始序列估計值序列x（1）（k+1）=[x（1）（0）-u/a]e（-ak）+u/a，其中，k=1，2，…n.

1.2.3 GM（1，1）-Markov聯(lián)合模型建立? ①計算相對值：將實際值與GM（1，1）模型對建模各年肺結(jié)核發(fā)病率擬合值相比計算相對值;②狀態(tài)劃分并計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣：根據(jù)經(jīng)驗將相對值劃分為若干狀態(tài)，初始值從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j的個數(shù)記作fij，則由此構(gòu)成的狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣見公式（1）;③計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣計算一步Pij（1）、二步Pij（2）及三步Pij（3）轉(zhuǎn)移概率矩陣;④預(yù)測：根據(jù)距離2017年最近的三個年肺結(jié)核發(fā)病率的初始狀態(tài)，計算其轉(zhuǎn)移至2017年各狀態(tài)的概率;⑤模型修正：根據(jù)Markov模型預(yù)測的2017年肺結(jié)核發(fā)病率所在狀態(tài)區(qū)間，修正GM（1，1）模型的預(yù)測結(jié)果。

1.2.4 擬合效果檢驗? 符合率：即預(yù)測值與實際值的相符程度，用回代年的預(yù)測值與實際值之比的百分?jǐn)?shù)表示。

后驗差比值C，C=Se/Sx， Se表示殘差序列標(biāo)準(zhǔn)差，Sx表示原始序列的標(biāo)準(zhǔn)差。C值是反映預(yù)測值與實際值之差的集中程度，其值越小，表示預(yù)測值與實際值之差越集中。

小誤差概率P，P是滿足殘差與殘差均值之差小于0.6475Sx的個數(shù)占總數(shù)的比。其值越大，表示差值越接近0.64775Sx，即模型擬合精度越高。P值與C值綜合判斷模型擬合精度標(biāo)準(zhǔn)見表1。

相對誤差檢驗，通常情況下平均相對誤差差小于5%較優(yōu)，小于20%尚可接受。

1.3? 統(tǒng)計方法

運用Excel 2016建立2007～2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率數(shù)據(jù)庫，使用R 3.4.3軟件編程建立GM（1，1）灰色預(yù)測模型并預(yù)測。

2? 結(jié)果

2.1? 建立GM（1，1）模型

2007年至2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率呈逐年下降趨勢，運用R軟件編程建立GM（1，1）模型，得出全國肺結(jié)核發(fā)病率模型發(fā)展系數(shù)a為0.0441，灰色作用量u為90.3691，預(yù)測模型為x（1）（k+1）=-1960.6359e（-0.0441k）+2049.1859。運用該模型擬合2007—2016間全國肺結(jié)核發(fā)病率數(shù)據(jù)，并計算相對值。見表2。

2.2? GM-Markov模型建立

計算2007—2016年全國肺結(jié)核發(fā)病率實際值與GM（1，1）模型擬合值之比得相對值，根據(jù)經(jīng)驗將全部相對值平均劃分為高估、較準(zhǔn)確和低估3個狀態(tài)，即E1：[0.959 2，0.980 0]，E2：[0.980 0，1.010 0]，E3：[1.010 0，1.046 6]。根據(jù)此劃分依據(jù)確定各年相對值所在狀態(tài)見表2。基于此得出一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣fij和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣Pij（1）。

利用三步轉(zhuǎn)移概率矩陣計算2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率所處狀態(tài)區(qū)間。選擇距離2017年最近的三個年份，即2016年、2015年和2014年，依次通過一步、二步、三步轉(zhuǎn)移至2017年。在各轉(zhuǎn)移步數(shù)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣中，取其起始狀態(tài)所對應(yīng)的行向量，組成新的概率矩陣，并對該矩陣的列向量求和，其中總和最大者即Markov模型預(yù)測2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率所處狀態(tài)區(qū)間。見表3。

由表3可見，合計中以狀態(tài)E3的概率最大，因此可以推測2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率處于E3狀態(tài)，即[1.0100，1.0466]。GM（1，1）模型預(yù)測2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率為56.86/10萬，因此GM（1，1）-Markov的預(yù)測值為56.86×（1.0100+1.0466）/2=58.47/10萬。

2.3? 模型比較

2017年全國肺結(jié)核發(fā)病率為60.53/10萬人，比較GM（1，1）模型與聯(lián)合模型的擬合及預(yù)測效果可知，GM（1，1）模型的擬合及預(yù)測效果均較GM（1，1）-Markov差。見表4，圖1。

3? 討論

預(yù)測模型的應(yīng)用不僅有助于合理有效地預(yù)測疾病的發(fā)生發(fā)展趨勢并指導(dǎo)提前實施干預(yù)，還可用于對已經(jīng)采取的干預(yù)措施進(jìn)行效果評價。該研究比較了GM（1，1）模型和GM-Markov模型對我國肺結(jié)核發(fā)病率的擬合及預(yù)測效果，二者的擬合平均相對誤差分別為2.08%和1.11%，預(yù)測相對誤差分別為6.06%和3.40%，精度較高。由結(jié)果可知GM-Markov模型更適用于肺結(jié)核發(fā)病率數(shù)據(jù)建模及預(yù)測，可以被考慮作為潛在的政策制定輔助工具。

GM-Markov模型已經(jīng)較為廣泛地應(yīng)用于時間序列預(yù)測[8-9]。在肺結(jié)核發(fā)病率預(yù)測方面，牛成虎[10]等學(xué)者利用灰色GM（1，1）模型擬合我國1997—2006年間肺結(jié)核發(fā)病率并預(yù)測其變化趨勢，其平均相對誤差為0.013%，較本次研究結(jié)果好。李娜等[11]運用ARIMA模型預(yù)測四川省結(jié)核病發(fā)病率結(jié)果顯示模型的預(yù)測誤差為10.00%。模型預(yù)測性能的高低與數(shù)據(jù)本身的特點有關(guān)，本研究中初始時間序列近似指數(shù)變化，但是存在明顯的波動，猜想這可能是導(dǎo)致GM（1，1）模型預(yù)測精度下降的原因之一。此外，建模所用的樣本量、模型預(yù)測的長度等都會影響到模型的擬合及預(yù)測效果。有文獻(xiàn)顯示，灰色預(yù)測模型建模數(shù)據(jù)8～10個即可，該文利用10年的數(shù)據(jù)建立模型并進(jìn)行短期預(yù)測，結(jié)果較為可靠[6]。利用聯(lián)合模型彌補GM（1，1）模型無法處理波動信息的特點，提高了模型的準(zhǔn)確度。在現(xiàn)有研究中多數(shù)研究結(jié)果顯示聯(lián)合模型的性能高于基本模型，這也提示研究者在建立模型時應(yīng)充分考慮各模型的適用條件及優(yōu)缺點，取長補短提高模型適用性。

調(diào)查資料顯示，我國過去十年間，肺結(jié)核患者人均住院費用顯著增長[12]。根據(jù)已有文獻(xiàn)，我國結(jié)核病流行具有明顯特點：結(jié)核病患病率下降緩慢;患病區(qū)域地域性明顯;結(jié)核病耐藥性高;規(guī)則服藥率低;結(jié)核與艾滋相互影響[13-14]。防控結(jié)核病應(yīng)當(dāng)從衛(wèi)生部門和個人兩方面著手。首先，衛(wèi)生部門對外應(yīng)開展健康教育活動，充分考慮易于接受的宣教模式，避免大面積撒網(wǎng)式教育。有研究發(fā)現(xiàn)重體力勞動者、中學(xué)生群體為結(jié)核病的易感群體，這提示可以采取有針對性的宣傳[15]。另一方面，提高衛(wèi)生服務(wù)資源可及性及配置合理性[16]。我國第五次結(jié)核病流行病學(xué)抽樣調(diào)查結(jié)果顯示，西部地區(qū)結(jié)核病發(fā)病率增長較快，而對結(jié)核病的相關(guān)知識知曉率較低[17]。分析可能與當(dāng)?shù)乇O(jiān)測數(shù)據(jù)質(zhì)量提升而帶來高發(fā)病率有關(guān)，也可能是由于缺乏良好的醫(yī)療條件而未能及時防范感染導(dǎo)致疾病的發(fā)病率升高。西部地區(qū)醫(yī)療條件較東部地區(qū)落后，其各種疾病的發(fā)病和死亡也大多高于東部地區(qū)。我國近年來也在持續(xù)發(fā)展西部地區(qū)醫(yī)療衛(wèi)生資源，由此導(dǎo)致的東西差異將會隨著時間推移而慢慢變小。其次，就個人而言，應(yīng)積極主動了解結(jié)核病傳播的途徑及如何有效預(yù)防。農(nóng)村家庭是結(jié)核病患者的高發(fā)地點，一旦感染了結(jié)核病，應(yīng)及時就醫(yī)并做好隔離工作[18]。實際上農(nóng)村地區(qū)結(jié)核病傳染源對自身認(rèn)知較少，加之不了解結(jié)核病的傳播途徑，往往加速了結(jié)核桿菌的傳播。基于此，衛(wèi)生部門可依據(jù)模型預(yù)測結(jié)果合理計劃衛(wèi)生資源配置，還可通過模型預(yù)測不同地區(qū)發(fā)病率變化趨勢，促進(jìn)資源合理分配[19]。

該次研究尚存在兩點不足。首先，研究所用的我國肺結(jié)核發(fā)病率數(shù)據(jù)是通過監(jiān)測得到的數(shù)據(jù)，由于存在患者患病不前往醫(yī)院接受治療等情況，監(jiān)測所得發(fā)病率數(shù)據(jù)可能與實際發(fā)生的數(shù)據(jù)略有不同。該次研究僅為肺結(jié)核發(fā)病率預(yù)測模型選擇提供參考，利用更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)建立模型并預(yù)測才能使其預(yù)測準(zhǔn)確性更高。其次，該次研究僅比較了兩種模型擬合和預(yù)測性能，結(jié)果顯示聯(lián)合模型的預(yù)測能力更高，但是未利用該模型預(yù)測2018年及之后的全國肺結(jié)核發(fā)病率變化情況，因此更完善的研究有待被提出。最后，該次研究僅比較了兩個簡單的數(shù)學(xué)模型在我國肺結(jié)核發(fā)病率預(yù)測方面的應(yīng)用，目前新興的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及人工智能等均可被嘗試用于傳染病發(fā)病預(yù)測。該次研究僅為納入的兩個模型比較，更多、更完善的比較體系尚有待研究。

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