多目標規劃原理及其應用

張大林 朱 昌

(黔南民族師范學院數學與統計學院，貴州 都勻 558000)

0 引言

多目標規劃是研究現實問題在一定約束條件下多個目標函數的極值問題。它囊括著多項指標、偏差變量、權系數等多項理論知識，在合理探究高等數學中的重要公式后，引用多目標規劃問題并進行主要目標法、分層序列法、線性加權求和法三種分析求解。 利用計算機軟件進行結果多類別分析， 得出適合問題的合理滿意解，展示出多目標規劃原理巧妙的科學準確性。

基于線性規劃的理論基礎上，分析多目標規劃問題的思想便變得更加廣闊。 本文著重介紹三種基本方法：對于多項指標的多目標規劃問題， 保留決策者合理的首次要求， 對問題進行主要目標法優化改變為同一目標問題求解；也可以將實際問題按照管理的要求比重，在滿足第一級的規定要求后分析求解第二級，一級接著一級的分層序列求解；最后也能夠引用線性求和法思想。

1 多目標規劃原理

1.1 發展歷程

線性規劃思想是多目標規劃原理的重要基礎，務實了在解決多目標問題的各層面的可靠知識。 因此線性規劃的發展歷程是非常有必要了解的，尊重前輩們的艱苦探究， 到現如今已經能夠在計算機領域上占領一座高峰，可見未來世界的管理者離不開線性規劃基礎之上的多目標規劃原理。

圖1

1.2 多目標規劃表達方式

學習的高等數學中多目標規劃原理有不同的論述表達，殊途同歸，在這里統一規范的書寫格式。首先多目標規劃的也是由決策變量、約束條件、目標函數三要素構成線性規劃，然后對問題進行分級比重指標，添加偏差變量，引入權系數進行理論補充。

一般的，簡單形式進行如下描述:

規定變量為xi，給出的參數為yi，未知的隨機因素為ξk，目標的評價準則為：U=f（xi,yi,ξk），約束條件是：g（xi,yi,ξk）≥0。 這 里g（xi,yi,ξk）=0，看 為 剛 好 足 夠，若 不 等時，理解為隨機模型。

1.3 絕對約束和目標約束

一般的，優化理論中線性規劃此類的問題需要設定目標函數,因此根據所求目標值，合理的加入正、負偏差變量后是有效解答路徑。 可以依據規劃問題的要求，在絕對約束與目標約束進行互換確保合理準確作答。

圖2

1.4 目標規劃的目標函數

引入正偏差變量d+， 為目標函數中目標值比計算值小的情況；引入負偏差變量d-， 為目標函數中目標值比計算值大的情況，因此就能夠得到優化的公式求出滿意解。 一般的，需要同時加入d+、d-，使得計算值盡可能等于目標值。

上面說過，實際多目標規劃問題中，由于決策者需要對多項要求有自我的把握程度，那么，對每一個具體目標規劃問題,就依照分級要求考慮加入優先因子來構造目標函數。

綜上，目標規劃是有主觀性和模糊性的，要構建目標規劃的高效準確數學模型時, 要有明確的目標值、對問題要求進行優先等級、合理引入權系數等重要理論步驟。

2 多目標規劃

如何分析求解多目標規劃問題， 首先了解它的本質。 多目標規劃問題其實是在優化過程中考慮的優化目標函數不只是單一的，通常都會存在兩個或兩個以上的目標函數， 而它們又會因為各自的最值要求互相矛盾，困擾決策者找不到極值解。 在優化理論思想中，求出一個合理的滿意解是非常有必要的，決策者可以依據劃分的各級要求，調整出合理的分配或組合方案。

一般的，將多目標規劃的問題寫成如下標準形式:

2.1 主要目標法

在多目標優化問題中，將實際要求分為主次目標進行求解，最主要的要求為f1（x），其余另外都為次要要求， 在一定的約束條件之下， 找出各自變量的的界限值，這樣一樣將次要目標轉化為目標優化問題就顯得方便求解了。 求解如下：

令

其中界值取為：

綜上，求得的非線性規劃問題得最優解同樣是原問題的弱有效解，也必然是多目標優化問題的弱有效解。

2.2 分層序列法

多目標規劃原理的分析思想也可表達為，將實際問題的多項指標問題，按照需要達到的要求重要程度進行分層次，不妨設有p 個目標，假設f1（x）相對于整體要求是不可缺少的，f2（x）稍次之，f3（x）再次之，以此類推，直到結尾的目標為fp（x）。 求解過程中，求解一級指標的目標函數f1（x），那么在其它約束條件不改變時，問題P1：

求出的最優解，記為x（1）和符合原題意的最優值，記為；接著求解在其它約束條件不改變時，問題P2：

同樣的，求出的最優解，記為x（2），符合原題的最優值，記為，即:

其中：

接著在R1為問題P2的可行域下，繼續求解問題P3：

得最優解，記為x（3）和符合題意的最優值，記為：…，以此類推下去，直到求解到第p 個問題pp：

得最優解，記為x（p），符合題意最優值，記為，則：x*=x（p）

綜上，多目標規劃問題的分成序列求解思路過程中，求得的最優解也就是滿意解為：

2.3 線性加權求和法

另外的一種方法，在不使用分層次目標要求下，對p個目標可以重要程度的相互關系，分別給出科學合理的權系數：

且

求出的最優解，記為x（0），不妨取x*=x（0）是多目標規劃問題的初解。

不難看出，如果用分層序列法分析，假設對其中的某個問題， 若它的最優解能夠求出并且是唯一確定的，那么問題，這時候用h（x）=

作為下一個的新目標函數，也就是線性規劃中的目標函數，繼續求解實際問題：

再按以上的求解過程，依次分析求解權系數下的問題P2,…,pp。

綜上，在一定約束條件下，多目標規劃問題采用線性加權求和法得到的最優解依然是原問題的滿意解。

3 實例分析

3.1 例題

設某市場上有n 種資產si（i=1,2,…,n）可以進行選擇，如果有數額為M 的足夠多的資金可以是一個階段的投資。 其中，這n 種資產在這一時期內購買si的平均收益率為ri，風險出現的損失率為qi，且有投資越分散，總的風險越少， 總體風險可用投資的si中最大的一個風險來度量。 購買si時要付交易費，（費率pi），當購買額不超過給定值ui時，交易費按購買ui計算。 另外，假定同期銀行存款利率是r0，既無交易費又無風險。 （r0=5%）

已知n=4 時相關數據如下表1。

表1

請給出這所公司的一種設計投資的組合方案，也就是用給定資金M， 科學合理的選擇購買若干種資產，或者將資金存入存銀行收利息，最后能夠使決策者的凈收益足夠高，而且受到的總體風險卻盡可能小。

3.2 符號規定和基本假設

1）符號規定：

si 第i 中投資項目，例如股票，債券等ri,pi,qi各項投資項目si 的平均收益率，產生的交易費率，需要承擔的風險損失率ui si的交易需要的投資定額r0 投資者所能參考的同期的銀行利率xi 投資項目si的所需要的資金a 投資項目時，會出現的風險度Q 投資者的收獲總收益

2）基本假設：

（1）投資者可用的投資數額M 是足夠的，不妨設M=1；

（2）相對于投資本身，投資的項目越分散，投資者受到的風險只會越?。?/p>

（3）假定整體的風險可以用si中顯得風險為第一來度量；

（4）n 種的各項資產是可以與各種投資項目si相互獨立的；

（5）投資者在投資后，收益所需要的時間內，ri,pi,qi,r0，為穩定值，不受外界因素影響；

（6）投資者的純收益只會受到ri,pi,qi影響，不受其它因素干擾，總體風險也是。

3.3 模型的分析與建立

1） 總體風險用所投資的si中最大的一個風險來衡量，即：

2）購買si所付交易費是一個分段函數，即：

而題目所給定的定值ui（單位：元）相對總投資M很少，piui更小， 可以忽略不計， 這樣購買si的凈收益為（ri－pi）xi。

3）要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小，這是一個多目標規劃模型：

目標函數為：

4）模型簡化

（a）在實際投資情況中，投資者需要承受風險的大小并不會一樣，此處假定風險有一個界限a，使得最大出現的一個風險，都是可以找到合理的投資組合，那么就建立了線性規劃的數學模型。模型一 固定風險水平，優化收益

（b） 假設投資者往往都期待于總盈利至少能有水平k 以上， 那么需要在風險最小的情況下就得探究出科學合理的投資方案。

模型二 固定盈利水平，極小化風險

（c）投入資金后，投資者都會矛盾于資產風險和預期收益，到底如何合理選擇投資方案，在此處可以對風險、收益分別賦予權重s（0

模型三

4 算法實現

4.1 模型一的求解

模型一：

因為a 是未知的，是出于需要給定的任意風險度，而不同的投資者將會遇到不同的風險大小。 不妨，將a=0 開始計算， 以步長Δa=0.001 進行循環搜索求解，在計算機Matlab 軟件上編程如下：

模型一的編程：

clc,clear

a=0;

hold on

while a<0.05

c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];

A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];

b=a*ones(4,1);

Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];

beq=1;

LB=zeros(5,1);

[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);

Q=-Q;

plot(a,Q,'*r');

a=a+0.001;

end

xlabel('a'),ylabel('Q')

4.2 結果分析

（1）投資的風險大，但是能夠得到的收益也是令人滿意的。

（2）如果將投資進行不斷分散后，那么投資者需要接受的風險也隨著減小。 可以這樣理解：鋌而走險的投資者通常選擇集中投資，理由如（1），保全自己的資產的投資者又想盡可能的收益，減少風險會選擇分散投資。

（3）在a=0.006 周圍有一個轉折點，不能看出在此點的左側風險增加變得逐漸減少時， 投資者得到的利潤是增長很快；相反，在此點的右側風險增加逐漸變得很大時，投資者得到的利潤增長卻是有些減緩的。 這說明對于初學者或者是經歷豐富的投資者， 選擇此處拐點是非常適合的，避免了風險過大，收益過小的情形，拐點的數值為a=6%，Q=20%，其中方案可以為： 風險度a=6%，收益Q=0.2019，x0=0,x1=0.24,x2=0.4,x3=0.1091,x4=0.2212。