嵌套函數(shù)中降維思想的應(yīng)用和拓展

一、問題的提出

二、問題的解決

【分析】顯然f(f(x))是一個四次多項式，f(x)是一個二次式，又A=B，所以多項式f(f(x))中必定含有因式f(x)，于是可以通過配湊化簡多項式f(f(x))，從而把f(f(x))=0這個四次方程轉(zhuǎn)化成兩個二次方程的乘積。

綜上0≤a<4

【點評】上述解析中通過兩步即可完成

Step1：對f(f(x))進行配方，丟掉部分項，實現(xiàn)降維降次

Step2：通過集合運算理清互相之間的關(guān)系

【拓展】如果把方程右邊的0換成其他實數(shù)或者變量，這種方法還通嗎？

【點評】這里如果把集合中方程改成不等式，又如何呢，事實上就成了本文開頭那個學考題了

【解析】

綜上所述得-2≤a≤2

【小結(jié)】上述三個問題的解決其本質(zhì)就是把多項式配方化簡，丟掉部分項，實現(xiàn)降維降次，從而轉(zhuǎn)化成低次的代數(shù)運算

【拓展】本題中集合中不等式右側(cè)把換成其他數(shù)，可行嗎？依然可以

三、問題的推廣

【小結(jié)】只要題干中有，那么高次多項式就一定有一個因式是低次多項式，于是問題就轉(zhuǎn)化為兩個等次方程(或不等式)的問題了，后面的問題用集合的運算關(guān)系比較容易說明。

四、問題的延伸

不同實根，則實數(shù)a的取值范圍為______.

解析：由 f(f(x))=f(x)知，f(f(x)）-f(x)中必有因式 f(x)-x

配方

上式要有3個實根，

故兩方程有一個公共根或者一個方程有兩個相等的實數(shù)根

此時正好有三根，滿足題意。

當一個方程有兩個相等的實數(shù)根時或，得，

綜上所述a=0

浙江省高考《數(shù)學考試》對于運算求解能力主要考查對算式進行的計算、變形，對數(shù)值的估算和近似計算等的能力。進一步考查對條件分析、方向探究、公式選擇、步驟確定等一系列過程中運算能力的求解。由此可知，平常在教學中加強對算式的適當變形可以讓我們的教學更加快捷高效。