關于代數不等式證明方法的應用分析

寧劍茵 馬紅蘭

摘 要 代數不等式證明在數學中有重要地位，具有題型多樣、方法多變，技巧性強等特點。本文首先對證明不等式基本方法的概念進行說明，輔以舉例說明方法的應用。其次對代數不等式證明方法的選擇技巧進行解釋說明，幫助學生掌握并靈活應用證明方法。再次對函數的性質、單調性、極值等多方面給予討論。最后就是利用到分析法、歸納法對絕對值不等式的證明。

關鍵詞 不等式 函數 代數 證明技巧

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

0緒論

可以發現代數不等式的證明在數學教材中占有很大的比例，不管是在初等數學，還是高等數學都能得到很好的體現。由于不等式證明方法的錯綜復雜、千變萬化以及證明過程中思路不固定，導致學生對于不等式的研究要遲的多。解數學題實質上是把數學問題經過適當的加工、變換符合一定的模型樣式，從而使問題獲解。代數不等式的基本證題法包括分析法與綜合法﹑反證法，歸納法。分析法與綜合法是古代希臘數學家﹑天文學家和機械技能的創始人歐多克斯（Eudexus，約公元前370年）創立的證題方法。

1證明不等式的基本方法

證明不等式就是根據不等式的性質，在所給定的數域內，來說明此不等式恒成立的過程。由于不等式的證明方法多種多樣的，這里說的基本方法就是指那些在證明過程中，具有固定的思維程序和書寫格式與步驟的證題方法。

1.1分析法

分析法是執果索因，即從結論出發，根據不等式的性質和有關的定理，一直推理到已知的不等式關系的證明方法（其中每一步均可逆）。

1.2綜合法

綜合法是由因導果。即由已知條件出發，或從被證明了的不等式出發，運用不等式的性質、法則等，推出所要證明的結論，稱為綜合法。

1.3比較法

用不等式概念，從兩式的差是正數還是負數，來決定它們的大小;從兩式的商是大于1還是小于1，來決定它們的大小的方法叫作比較法。即：欲證：只要證;或欲證只要證。

2不等式的證明技巧

由于不等式的證明方法錯綜復雜，千變萬化，這里所說的證明技巧是指證明方法，思路不固定，證明時，可根據已知條件、解析式及不等式的特點，靈活應用的證明方法，稱作證明技巧。

2.1放縮法

利用函數的單調性，不等式的傳遞性及已知不等式的知識，把不等式適當擴大（或縮小）較大（或較小）的一邊的證明方法，稱為放縮法。

2.1.1利用函數的單調性放縮

2.2代換法

根據徐利治先生的“關系映射反應原則”可知，解數學題實質上就是把數學問題經過適當加工、變換成為符合一定的模型樣式，從而使問題獲解。代換如下幾種。

2.2.1和差代換法

對于任意實數，總有如下不等式成立。

2.2.2滿足常數項代換法

當已知條件是三個或三個以上元素（項）之和時，代換必須應盡量滿足常數。

下面分析不等式等號成立的條件：若個數，，，中有個數為零，則原不等式成立顯然。反之若此個數中，至少有兩個數異于零，不妨設，那么顯然有，從而有，把他們帶入的表達式，導出嚴格不等式。

參考文獻

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