引應用模型分析判定線性方程組解的情形

黃健 李清華

摘 要 求解線性方程組是線性代數中向量空間及矩陣的初等變換的重要應用。求解方程組的方法數量多，并且都十分重要。如何在授課中讓學生產生興趣，更好的掌握判定的規律非常關鍵。

關鍵詞 網絡流模型 線性方程組 解的判定 初等行變換

中圖分類號：O212文獻標識碼：A

線性代數這門學科的教授對象是理工科的學生，是他們學習的基礎學科，他們更關心的是：（1）每一個知識能否應用到生活和實踐當中去;（2）如何用更直觀而快捷的方法掌握和應用所學到的每個知識。線性方程組應用廣泛。

問題的引入：

例1：下圖給出我校西門單行道上午十點的交通流量（以每半小時通過汽車的數量度量）.試確定此交通網絡流量模式。

通過求解線性方程組，找出變量或者它們之間的關系，就能合理分配各交叉路口指示燈的設置時間。

可以看出，求解線性方程組是我們線性代數這個課的一個重要內容，要求線性方程組的解，首先要判斷方程組是否有解，如果有解，有多少解？而對于解的判定，傳統的理論教授方法平淡，直接求解線性方程組對他們更有吸引力。從實例入手，觀察方程組的不同特點，通過分析比較，從而總結出線性方程組在不同的條件下解的規律。

以上三個方程組都是非齊次線性方程組AX=b≠ ，求解的方法都是利用消元法，即應用線性方程組的增廣矩陣初等行變換來求，因為矩陣的初等行變換不改變線性方程組的解。所以，我們將所有的增廣矩陣都化為行的階梯形矩陣。

分析：例2中，與原方程組同解的方程組有三個有效方程，而所有的首非零元都在系數部分，并且此方程組也只有三個未知數，結論是：，方程組只有一組解.例3中，通過初等行變換，方程中出現了0=0無效方程，有效方程只剩兩個，兩個方程四個未知數，一定會出現自由未知量，那么就一定會有無數多組解，我結論是：。例4中，通過初等變換，與原方程同解的方程中出現了0=1這樣的無解方程，一個方程無解，整個方程組一定是無解的，觀察增廣矩陣的行階梯形矩陣，發現首非零元有一個在常數部分，結論就是

上圖就是對線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣的秩的大小作比較，總結得出的結論.通過對列表的理解記憶，判定方程組的解就顯得非常容易掌握，能夠準確的判定出方程組得何種解，為下一步求方程組的解打下良好的基礎。

分析：當時，，根據定理，齊次線性方程組有無窮解，也就是含非零解;而對于非齊次線性方程組，如果，只能說明它的解是不唯一的，還需與大小比較，當=時，有無窮解，當時，就是無解的。綜上所述，無論是齊次線性方程組還是非齊次線性方程組，當方程的個數少于未知數的個數時，它們的解都不可能是唯一的，而其他情況均有可能發生。

基金項目：煙臺大學校級教學研究與改革項目：jyxm2017001。

參考文獻

[1] 吳贛昌.線性代數（理工類）（第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[2] 丘維聲.高等代數（第一版）[M].北京：清華大學出版社，2010.