多變量航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制器設(shè)計(jì)

紀(jì) 瑋

（中國(guó)航發(fā)沈陽(yáng)黎明航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司，遼寧沈陽(yáng) 110043）

1 增廣LQR（ALQR）控制方法

LQR（線性二次型調(diào)節(jié)器）控制具有很強(qiáng)的魯棒性，尤其具有無窮大的幅值裕度和大于60°的相位裕度，并且其穩(wěn)定裕度非常大，航空發(fā)動(dòng)機(jī)科研人員對(duì)此控制結(jié)構(gòu)也產(chǎn)生強(qiáng)大興趣。各控制回路之間的耦合要求高，LQR 控制方法受到制約，故有的學(xué)者將其改進(jìn)為ALQR 方法。ALQR 方法不僅具有方法的穩(wěn)定裕度，而且由于將誤差增廣為狀態(tài)量，使其具有了魯棒跟蹤能力，同時(shí)在一定程度上解決了LQR 所不能解決的耦合問題。具體系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下：

式中：x 為系統(tǒng)狀態(tài)，y 為被控量，u 為控制量，A、B、C、D 為適維矩陣。

為了實(shí)現(xiàn)魯棒跟蹤的設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)公式（1）進(jìn)行微分可得下式：

式中，指令r 為階躍信號(hào)，即r=a·1（t），其中a 為常量，則誤差e=r-y。

對(duì)公式（3），要使系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)穩(wěn)定，即狀態(tài)變量不隨時(shí)間而變化，要求狀態(tài)量為零，可消除公式（1）的穩(wěn)態(tài)誤差e，這就滿足了魯棒跟蹤的需求。得出控制系統(tǒng)框架（圖1）。

2 LQ/H∞控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1 控制框

多變量魯棒控制系統(tǒng)中，H2/H∞控制在魯棒跟蹤和干擾抑制方面具有優(yōu)良的性能[1-2]，對(duì)于控制器設(shè)計(jì)，除了要求穩(wěn)定性能，還要具有較快的響應(yīng)速度、較小的超調(diào)或者沒有超調(diào)、較強(qiáng)的抑制外界干擾能力，為此設(shè)計(jì)了多輸入多輸出控制系統(tǒng)

式中：x 為系統(tǒng)狀態(tài)，y 為系統(tǒng)輸出，u 為控制量，w 為系統(tǒng)擾動(dòng)，A、B、C、B1、D1為適維矩陣。公式中x、y、u 均應(yīng)理解成系統(tǒng)在平衡位置的偏差量，為簡(jiǎn)化起見，本文中省略了符號(hào)Δ。

為了保證系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)良好，保持抑制度，對(duì)公式（4）進(jìn)行適當(dāng)變換，可得

對(duì)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行跟蹤，由于發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)要具有較快的響應(yīng)速度，則系統(tǒng)輸出也有較快的響應(yīng)速度，那么就要求系統(tǒng)具有較大的帶寬，這將會(huì)引起系統(tǒng)抑制干擾能力下降，所以在設(shè)計(jì)過程中，采用多目標(biāo)優(yōu)化求解，即將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，然后進(jìn)行加權(quán)，求得

式中a、b 為加權(quán)系數(shù)。

按圖1 所示控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，采用控制方法，在給定加權(quán)矩陣Q、R 的條件下，求解的控制器滿足二次型性能指標(biāo)最小。

式中Q=QT≥0，R=RT＞0。

由此可見，LQR 控制器的性能取決于設(shè)計(jì)過程中給定的Q、R矩陣，不同的Q、R 會(huì)求解出不同的狀態(tài)反饋增益矩陣進(jìn)而使得系統(tǒng)具有不同的性能。為此，可以將Q、R 矩陣參數(shù)作為被優(yōu)化量，使得系統(tǒng)具有期望的性能。

3 控制器性能尋優(yōu)

基礎(chǔ)微分進(jìn)化算法中，采用常值的交叉變量，需要在全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力中折中選擇。在此基礎(chǔ)上，本文采用線性變化的交叉變量，在尋優(yōu)的一開始采用較大的交叉變量，使尋優(yōu)速度較快，到優(yōu)化后期，采用較小的交叉變量，使算法具有較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力。

線性變化的交叉變量為：

式中：T 表示當(dāng)前代數(shù)，Gmax表示最大迭代次數(shù)，CR1表示最大交叉變量，CR2表示最小交叉變量。

當(dāng)最優(yōu)適應(yīng)度值保持長(zhǎng)期不變的代數(shù)G 大于最大允許的代數(shù)G0時(shí)，適當(dāng)?shù)卦龃缶植拷徊娓怕剩瑪U(kuò)大尋優(yōu)范圍，促使算法向最優(yōu)解靠近，從而提高計(jì)算的收斂速度和精度。即當(dāng)G＞G0時(shí)，則在線性變化的基礎(chǔ)上疊加局部增大。在當(dāng)前CR的基礎(chǔ)上擴(kuò)大0.5%，并且保持一定的代數(shù)，同時(shí)重新統(tǒng)計(jì)適應(yīng)度不變的代數(shù)，若適應(yīng)度得到改善，則從當(dāng)前代數(shù)繼續(xù)按線性變化，否則再次增大CR，但要保證CR＜CR1，直至滿足迭代終值條件。

貪婪選擇時(shí)，不再通過單獨(dú)比較相應(yīng)父代和子代個(gè)體適應(yīng)度大小進(jìn)行選擇，而采用對(duì)父代和子代個(gè)體一起適應(yīng)度進(jìn)行排序的方式，按適應(yīng)度從大到小取NP個(gè)個(gè)體組成新一代種群。這樣能夠較好的保護(hù)在算法前期產(chǎn)生的優(yōu)秀個(gè)體，避免由于初期CR較大破壞最優(yōu)解集。因此，將這一改進(jìn)應(yīng)用在控制器參數(shù)優(yōu)化過程中，必然可以獲得性能更優(yōu)的控制系統(tǒng)。

4 控制器性能仿真優(yōu)化

設(shè)計(jì)過程中，將執(zhí)行機(jī)構(gòu)視為時(shí)間常數(shù)為0.1 s 的慣性環(huán)節(jié)，將Q、R 均設(shè)為對(duì)角陣，則Q∈R9×9，R∈R3×3，對(duì)矩陣的對(duì)角元進(jìn)行尋優(yōu)。

優(yōu)化過程中分別選取種群規(guī)模為100、CR1為0.9、CR2為0.1、縮放因子F 為0.5，適應(yīng)度不變最大容忍代數(shù)為10，交叉變量增大代數(shù)選為5，進(jìn)化代數(shù)為200。所得的控制器為：

為了驗(yàn)證所得控制器的控制效果，基于狀態(tài)變量模型開展仿真驗(yàn)證，得到在線性系統(tǒng)中1%階躍的理想系統(tǒng)輸出跟蹤響應(yīng)曲線如圖2 所示。

圖2 線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

本文研究了多變量航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制器設(shè)計(jì)，在增廣LQR 控制的基礎(chǔ)上，采用LQ/H∞控制方法，對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，并提出一種改進(jìn)的微分進(jìn)化算法，對(duì)算法的交叉因子采用線性變化結(jié)合局部增大的措施，并對(duì)父代個(gè)體和子代個(gè)體進(jìn)行綜合，所有適應(yīng)度一起排序，確定較優(yōu)個(gè)體進(jìn)入下一代的種群，提高了算法的尋優(yōu)速度和尋優(yōu)精度。通過改進(jìn)微分進(jìn)化算法的方式，優(yōu)化控制器參數(shù)，仿真結(jié)果表明控制系統(tǒng)具有良好的輸出跟蹤能力，在包線內(nèi)不同工作點(diǎn)表現(xiàn)出了良好的魯棒性。