電阻等效變換在直流電阻性電路中的應(yīng)用

黃勇超

摘? 要：三角形（△）聯(lián)結(jié)與星形（Y）聯(lián)結(jié)等效變換可以減少兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)外電路的作用完全一樣。復(fù)雜的直流電阻性電路中經(jīng)常遇到三角形（△）聯(lián)結(jié)的電阻，可以借助三角形（△）聯(lián)結(jié)與星形（Y）聯(lián)結(jié)的等效變換減少節(jié)點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。在求一個(gè)4個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路實(shí)例中，經(jīng)過(guò)兩次從三角形（△）聯(lián)結(jié)到星形（Y）聯(lián)結(jié)的電阻等效變換，不用列線性方程組，通過(guò)簡(jiǎn)單的電阻串并聯(lián)關(guān)系就可以求出各支路電流。

關(guān)鍵詞：三角形（△）聯(lián)結(jié)? 星形（Y）聯(lián)結(jié)? 等效電阻

中圖分類號(hào)：G642.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2019）03（b）-0045-02

Abstract： The equivalent transformation of triangle （△） connection and star （Y） connection can reduce two nodes， and the function of external circuit is exactly the same. In complex DC resistive circuits， the resistance of triangle （△） connection is often encountered. The equivalent transformation between triangle （△） connection and star （Y） connection can be used to reduce the nodes， thus simplifying the calculation. In an example of a four-node circuit， after two equivalent transformations of resistance from triangle （△） connection to star （Y） connection， the branch currents can be obtained by simple series-parallel connection of resistors without a set of linear equations.

Key Words： Triangle（△） connection; Star （Y） connection; Equivalent resistance

電路分析技術(shù)是高等院校電子類相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、網(wǎng)孔電流法是常用的直流電阻性電路解法。如果電路節(jié)點(diǎn)過(guò)多，上述方法列出的線性方程組包含的線性方程過(guò)多，計(jì)算不容易。為了計(jì)算的方便，通常采用Matlab編程的矩陣計(jì)算[1]，也有些繁瑣。

減少節(jié)點(diǎn)，無(wú)疑會(huì)減少線性方程。該文提供電阻的等效變換方法實(shí)際上就是利用三角形（△）聯(lián)結(jié)與星形（Y）聯(lián)結(jié)等效變換，減少電路節(jié)點(diǎn)的方法。通過(guò)三角形（△）聯(lián)接與星形（Y）聯(lián)接的等效變換，電路三角形（△）聯(lián)接的3個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)樾切危╕）聯(lián)接的1個(gè)節(jié)點(diǎn)，線性方程組由3個(gè)線性方程減少到1個(gè)線性方程，求解過(guò)程就變得極為簡(jiǎn)單。

這種方法直接更改電路，思路清楚，比常用的其他幾種直流電阻性電路解法簡(jiǎn)單好用。

1? 三角形（△）聯(lián)接等效變換為星形（Y）聯(lián)接方法介紹

如圖1所示的三角形（△）聯(lián)接經(jīng)過(guò)電阻的等效變換，變換成圖2所示的星形（Y）聯(lián)接。等效變換后，三端的電流與任何兩端的電壓在變換前后保持相同，對(duì)外電路的作用完全一樣。

在圖1和圖2中，三角形（△）聯(lián)接與星形（Y）聯(lián)接的等效電阻變換公式為：

公式容易記憶。

2? 電路實(shí)例

在圖3所示的直流電阻性電路中，求各支路電流。電路中，節(jié)點(diǎn)A、B、C和A、C、D各構(gòu)成一個(gè)三角形（△）聯(lián)接。按常規(guī)方法都要用到基爾霍夫定律，列出電壓方程和電流方程。

通過(guò)三角形（△）聯(lián)接等效變換為星形（Y）聯(lián)接的方法來(lái)解題，需要按下列3個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算。

（1）先將三角形（△）聯(lián)接ACD等效變換為星形（Y）聯(lián)接，可以求出外部電流I1、I2、I3，此時(shí)，I4、I5、I6作為三角形（△）聯(lián)接內(nèi)部電流先不考慮。

在圖3中，三角形（△）聯(lián)接A、C、D等效變換為星形（Y）聯(lián)接。星形（Y）聯(lián)接的3個(gè)等效電阻，根據(jù)等效電阻變換公式分別為：

3個(gè)等效電阻的分布如圖4所示。

在圖4中，電路的總電阻R為：

（2）然后再將三角形（△）聯(lián)接A、B、C等效變換為星形（Y）聯(lián)接，可以求出電流外部電流I4、I5，此時(shí)三角形（△）聯(lián)接內(nèi)部電流為I2、I3、I6。

在圖3中，三角形（△）聯(lián)接A、B、C等效變換為星形（Y）。星形（Y）聯(lián)接的3個(gè)等效電阻，根據(jù)等效電阻變換公式分別為：

3個(gè)等效電阻的分布如圖5所示。

在圖5中，可以驗(yàn)證電路的總電阻R=6Ω，驗(yàn)證電路的電流I1=2A。

（3）最后根據(jù)電流方程，求出未知的內(nèi)部電流電流I6。

在圖3中，根據(jù)節(jié)點(diǎn)A的電流方程：

所以，I6=I2-I4=1.2-1.4=-0.2A（電流方向與圖示方向相反）。

綜上所述，各支路電流為I1=2A，I2=1.2A，I3=0.8A，I4=1.4A，I5=0.6A，I6=-0.2A。各支路電流都可利用2個(gè)節(jié)點(diǎn)間的電阻串并聯(lián)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。

3? 結(jié)論

實(shí)例電路的求解中，節(jié)點(diǎn)電流法要列6個(gè)線性方程，節(jié)點(diǎn)電壓法、網(wǎng)孔電流法要列3個(gè)線性方程，三角形（△）聯(lián)結(jié)與星形（Y）聯(lián)結(jié)的等效變換的方法卻很簡(jiǎn)單。

經(jīng)過(guò)三角形（△）聯(lián)結(jié)與星形（Y）聯(lián)結(jié)的等效變換，實(shí)例電路的4個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)?個(gè)節(jié)點(diǎn)，2次變換計(jì)算5個(gè)不同的外部電流，每種變換方式可用簡(jiǎn)單的串并聯(lián)直接進(jìn)行電阻或電流計(jì)算，不列線性方程組，計(jì)算的結(jié)果也可驗(yàn)證。因此，三角形（△）聯(lián)結(jié)與星形（Y）聯(lián)結(jié)的等效變換為直流電阻性電路的計(jì)算帶來(lái)了極大的方便。

參考文獻(xiàn)

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[3] 汪小娜.回路電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法解題技巧分析[J].物理通報(bào)，2018（10）：21-23.