淺談代數式恒等變形的常用方法

【摘 要】代數式的恒等變形是初等數學重要知識點之一，是解決其它問題—函數及方程的重要前提和手段。其中也包含著數學觀點和思維方法。學習掌握、靈活運用代數式的恒等變形，能提高運算能力和邏輯思維能力。

【關鍵詞】代數式；恒等變形；公式法；拼湊法；代換法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0011-02

兩個代數式，如果對于字母在允許范圍內的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數式恒等。把一個代數式變成另一個與它恒等的代數式叫做代數式的恒等

變形。

為了完成代數式的證明、求值及化簡等問題，我們常要對某些代數式（或解析式）進行恒等變形。要較好地掌握代數式的恒等變形，首先要掌握代數式的相關公式、性質，并能靈活應用；其次要搞清楚該代數式變形的目的、方向和方法；第三是儲備較豐富的解題實踐經驗。代數式恒等變形的具體手段和技巧較多，一般有配方、因式分解、換元、設參、拆項與合并等。下面結合例題從大的方面淺談代數式的恒等變形的常用方法。

1 公式變形法

例1 若比較，

的大小。

分析：對于參數分為和兩種情況討論，分別去掉絕對值符號后再比較大小是可以的，但這種方法不簡潔。

注意到，再結合一些公式的靈活變形，則可進行下列變化：

因為，所以可見

由此得證：。

評注：平方差公式大家很熟悉，但其在此題的變形目的、方向上作用不夠。而由其變形公式

引出的恒等變形式卻在證明中發(fā)揮了重要作用。

2 代換變形法

例2 在△ABC中，。

求證：≥

分析：如果直接把展開，再用比較法證明，太過繁雜。注意到，

都是正數，則可通過代換，令，，可知，

，于是只要證明≥即可，因為所以，≥≥可見，≥。

評注：證明不等式≥較難，但換元后的不等式≥容易證明。這體現了代換法的重要性。

3 拼湊變形法

除上面的代換變形法外，這道題還可以采用拼湊變形法來證明。

評注：在這種拼湊變形中，利用了當≥0時，的由簡向繁的變形式，其目的在于使根號內形成偶數個因式，以便兩兩結合產生不等效果。在各種恒等變形中，拼湊變形用得最普遍、最靈活。

代數式的恒等變形在數學各分支、各章節(jié)中有廣泛用途，但恒等變形的知識、方法卻不能在某章、某節(jié)就能完全闡述，只有從代數的全局看問題，把恒等變形與計算能力、邏輯思維能力聯系起來，把解題與提高數學素質聯系起來，才能進一步看清恒等變形的重要性，也才能更好的掌握恒等變形的技法。

【作者簡介】

白祥福（1964～），男，成都大學信息科學與工程學院副教授，研究方向：應用數學、中學數學、高等數學教育與教學。