泰勒中值定理的應用探究

【摘 要】泰勒中值定理是高等數學中的一個非常重要的定理，其應用極其廣泛，但是由于其內容較為復雜，加之授課時少，教師在應用方面講授的內容不多，遇到這類題學生往往望而生畏。本文從多個方面就如何應用泰勒中值定理進行了探究，以期起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】泰勒中值定理；拉格朗日型余項；皮亞諾型余項；麥克勞林公式；應用；探究

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0014-02

泰勒中值定理是高等數學中的一個非常重要的定理，在近似計算、深刻表達函數形態、求極限、理論證明等方面有著十分廣泛的應用。本文從以下多個方面探究如何應用泰勒中值定理。

1 泰勒中值定理內容

設函數在含有的開區間（a，b）內具有直到階導數，則當時有：

，

其中余項有兩種形式：第一種，拉格朗日型余項；第二種，皮亞諾形式余項。帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式為。

2 泰勒中值定理的應用

2.1 利用泰勒中值定理拉格朗日型余項求近似值

泰勒中值定理在近似計算中可以使函數的近似值更加精確，而且可以進行誤差估計。

例1 求精確到0.000001的近似值。

解 由泰勒中值定理得的展開式：

，令得

，從而有，進而得。為了使<0.000001，只要取。

現取，即得數的精確到0.000001的近似值為。

2.2 利用泰勒中值定理求極限

帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式在計算復雜的不定式極限方面十分有效。

例2 計算 。

解 因為，，

所以，從而。

2.3 利用泰勒中值定理求高階導數

當用求導公式求函數的階導函數較為復雜時，可以根據泰勒展開式的唯一性求。

例3 已知，求及。

解 由泰勒中值定理得

由得展開式得的展開式

從而②

比較①②同次冪得系數得：，，，，，，，

，……。由于②式中的偶次冪的系數為零，所以，；當時，，于是，得。

2.4 利用泰勒中值定理證明等式

例4 設在上可導，試證：在內至少存在

一點ξ，使得。

證明：設，則，由泰

勒中值定理帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式得：，令，得

，即。

2.5 利用泰勒中值定理證明不等式

利用泰勒中值定理證明存在某ξ滿足的一些不等式也十分奏效。

例5 設在上具有二階導數，且，試證：至少存在一點ξ∈（0，1），使得。

證明：將函數分別在和處泰勒展開，則存在和，使得，，因而有，

兩式相減得：，從而有≤，取。

則有≥。

以上從五個方面舉例探究了泰勒中值定理的一些應用，其應用遠遠不止這些，本文僅起到拋磚引玉的

作用。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]高等數學（上）（第二版）[M].北京：科學出版社，2018.

【作者簡介】

鄒全春，成都大學信息科學與工程學院，講師。