尋找本源 通法解題

周曉

【摘 要】針對高三復習課中的一道基本不等式問題，本文利用學生的一種錯誤解法展開討論，通過對引例的層層變式，說明各種錯誤產生的原因，探究出一種解決雙變量最值問題的一種通法。教師在解題教學中應注意引導學生發現題目考查的本源，利用解決這類問題的通法解決問題。

【關鍵詞】通法；雙變量；消元法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0072-02

高三的學生在復習過程中會做大量的題，很多題目聽得懂，但是自己動手卻經常會錯，這是因為沒有理解這道題目所要考察的數學本質，因此，教師在教學過程不應盲目給學生做大量的題，應該在教學中采用變式法教會學生做一類題。以下是高三復習中的一道輻射功能很強的例題，其內容是均值不等式極其應用。

1 拋出問題，集思廣益

引例：已知且，求（1）的最小值；（2）的最小值。

學生1：（1）≥，

≥2，≥4當且僅當時取等號。（2），≥4。當且僅當時取等號。

這種做法充分利用了均值不等式及其推論的結構，課堂上學生解決該問題時很順利。但是筆者將這題進行變式，解答情況出乎筆者意料。

變式一：已知。（1）求最小值，（2）求最小值。

學生2：跟引例類似解法≥，

≥8，≥64當且僅當即、時，取等號。但是該生在解答（2）時卻做不下去了。

≤……

學生3（錯解）：由（1）知最小值為64，≥≥。

2 發現問題，及時改正

此題錯誤原因為學生不知道兩次基本不等式等號成立條件不一樣。第一個是時取等號，第二個是時。個別學生雖然發現了這個“取等”問題，但是又不知道該如何正確解答。有的干脆放棄，只有極少數學生得出以下解法：學生4：兩邊同除以，

得，≥18。當且僅當，即時取等號。

學生5：將變形得。于是+10≥，當且僅當即、時取等號。

3 再次變式，尋找通法

變式二：判斷和有無最值。

，換元，轉化為≥0，解得≥7或≤1。即≥49或≤1，當且僅當，即時取得最小值49，但是還有一個最大值1，此時，有最大值1？最小值49？學生困惑了。問題出在哪里呢？顯然這種方法是有缺陷的。

第二問：的形式無法進行下去。下面用因式分解的方法：，化簡為，則≥，當且僅當即時取等號，看似沒問題，但這個基本不等式應用的前提是，顯然不符合定義域要求。因此我們要回到這個問題的本源上去考慮，研究目標：和的最值。由已知得。則，現在我們來研究和對應的關于的函數的最值問題了，求解一個函數的最值的方法就多了，我們先來看下最常見也最保險的導

數法。

令或

得=1，所以在區間和（1，+∞）上單調

遞增，在區間（8，1）上單調遞減。因此只有一個極小值，無最大值和最小值。令，

，得=2或=14都在定義域范圍內，在區間（0，2）和（14，+∞），上單調遞增，在區間和（8，14）上單調遞減。因此的極大值為，的極小值為（14）=49，的值域為（0，1]∪[49，+∞）。

4 使用通法，解決引例

變式一：已知（1）求最小值，（2）求最小值。

解：由，得，因此，（這點很重要），，

，解得，因此在區間（8，12）上單調遞減，在區間（12，+∞）上單調遞增。因此有最小值。變式二由解得的范圍就是，之后的基本不等式≥就不能使用了。因此借助消元法轉化為一個函數最值問題是解決這類問題的最通用最保險的方法。但是在一定條件下也可以用均值不等式。

由以上可以發現，教師應該引導學生學會解決問題的一般方法，而不僅僅是一些技巧，一般方法是通途，技巧是輔助。找到解決問題的通法的有效途徑就是把握數學的學科思維特征，遵循數學的思維特征看待問題。如函數的思維特征就是分析一個變量的變化引起另一個變量如何變化，當遇到兩個變量的時候就要轉化為只含一個變量，代換、消元的時候要注意新元的范圍。再如解析幾何的思維特征就是用代數方法研究幾何問題，首先要在坐標系內把幾何圖形進行代數表示，進而用點的坐標表示，理成方程，通過研究方程得到幾何圖形的性質。這些數學通法的扎實把握是落實數學六大核心素養的有效途徑。在解決問題中重視通法，有利于強化數學基礎知識，培養數學能力，養成良好的思維品質。