尋找本源 通法解題

周曉

【摘 要】針對高三復習課中的一道基本不等式問題，本文利用學生的一種錯誤解法展開討論，通過對引例的層層變式，說明各種錯誤產(chǎn)生的原因，探究出一種解決雙變量最值問題的一種通法。教師在解題教學中應注意引導學生發(fā)現(xiàn)題目考查的本源，利用解決這類問題的通法解決問題。

【關鍵詞】通法；雙變量；消元法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0072-02

高三的學生在復習過程中會做大量的題，很多題目聽得懂，但是自己動手卻經(jīng)常會錯，這是因為沒有理解這道題目所要考察的數(shù)學本質，因此，教師在教學過程不應盲目給學生做大量的題，應該在教學中采用變式法教會學生做一類題。以下是高三復習中的一道輻射功能很強的例題，其內(nèi)容是均值不等式極其應用。

1 拋出問題，集思廣益

引例：已知且，求（1）的最小值；（2）的最小值。

學生1：（1）≥，

≥2，≥4當且僅當時取等號。（2），≥4。當且僅當時取等號。

這種做法充分利用了均值不等式及其推論的結構，課堂上學生解決該問題時很順利。但是筆者將這題進行變式，解答情況出乎筆者意料。

變式一：已知。（1）求最小值，（2）求最小值。

學生2：跟引例類似解法≥，

≥8，≥64當且僅當即、時，取等號。但是該生在解答（2）時卻做不下去了。

≤……

學生3（錯解）：由（1）知最小值為64，≥≥。

2 發(fā)現(xiàn)問題，及時改正

此題錯誤原因為學生不知道兩次基本不等式等號成立條件不一樣。第一個是時取等號，第二個是時。個別學生雖然發(fā)現(xiàn)了這個“取等”問題，但是又不知道該如何正確解答。有的干脆放棄，只有極少數(shù)學生得出以下解法：學生4：兩邊同除以，

得，≥18。當且僅當，即時取等號。

學生5：將變形得。于是+10≥，當且僅當即、時取等號。

3 再次變式，尋找通法

變式二：判斷和有無最值。

，換元，轉化為≥0，解得≥7或≤1。即≥49或≤1，當且僅當，即時取得最小值49，但是還有一個最大值1，此時，有最大值1？最小值49？學生困惑了。問題出在哪里呢？顯然這種方法是有缺陷的。

第二問：的形式無法進行下去。下面用因式分解的方法：，化簡為，則≥，當且僅當即時取等號，看似沒問題，但這個基本不等式應用的前提是，顯然不符合定義域要求。因此我們要回到這個問題的本源上去考慮，研究目標：和的最值。由已知得。則，現(xiàn)在我們來研究和對應的關于的函數(shù)的最值問題了，求解一個函數(shù)的最值的方法就多了，我們先來看下最常見也最保險的導

數(shù)法。

令或

得=1，所以在區(qū)間和（1，+∞）上單調

遞增，在區(qū)間（8，1）上單調遞減。因此只有一個極小值，無最大值和最小值。令，

，得=2或=14都在定義域范圍內(nèi)，在區(qū)間（0，2）和（14，+∞），上單調遞增，在區(qū)間和（8，14）上單調遞減。因此的極大值為，的極小值為（14）=49，的值域為（0，1]∪[49，+∞）。

4 使用通法，解決引例

變式一：已知（1）求最小值，（2）求最小值。

解：由，得，因此，（這點很重要），，

，解得，因此在區(qū)間（8，12）上單調遞減，在區(qū)間（12，+∞）上單調遞增。因此有最小值。變式二由解得的范圍就是，之后的基本不等式≥就不能使用了。因此借助消元法轉化為一個函數(shù)最值問題是解決這類問題的最通用最保險的方法。但是在一定條件下也可以用均值不等式。

由以上可以發(fā)現(xiàn)，教師應該引導學生學會解決問題的一般方法，而不僅僅是一些技巧，一般方法是通途，技巧是輔助。找到解決問題的通法的有效途徑就是把握數(shù)學的學科思維特征，遵循數(shù)學的思維特征看待問題。如函數(shù)的思維特征就是分析一個變量的變化引起另一個變量如何變化，當遇到兩個變量的時候就要轉化為只含一個變量，代換、消元的時候要注意新元的范圍。再如解析幾何的思維特征就是用代數(shù)方法研究幾何問題，首先要在坐標系內(nèi)把幾何圖形進行代數(shù)表示，進而用點的坐標表示，理成方程，通過研究方程得到幾何圖形的性質。這些數(shù)學通法的扎實把握是落實數(shù)學六大核心素養(yǎng)的有效途徑。在解決問題中重視通法，有利于強化數(shù)學基礎知識，培養(yǎng)數(shù)學能力，養(yǎng)成良好的思維品質。