初中數(shù)學(xué)中的費(fèi)馬點(diǎn)問題

常世煒

【摘 要】幾何最值問題種類多、變換形式多樣，是近幾年全國中考比較熱的模型考點(diǎn)。僅2015～2018年四年的蘭州中考題目都涉及了線段最值的模型，含有“軍飲馬、阿氏圓、胡不歸”等不同類型。“費(fèi)馬點(diǎn)”模型最早是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出，是關(guān)于三角形的一個有趣問題，其實(shí)質(zhì)上研究的是在三角形內(nèi)部存在一個到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)，利用初中數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造三線段共線，解決最值問題。本文結(jié)合幾何學(xué)從定義、作圖、結(jié)論出發(fā)，討論“費(fèi)馬點(diǎn)”模型一般性的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】三角形內(nèi)一點(diǎn)；費(fèi)馬點(diǎn)；旋轉(zhuǎn)；最小值

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0136-02

1 費(fèi)馬點(diǎn)的定義及性質(zhì)

（1）費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)。

（2）費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

①對于一個各角不超過120°三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120°的點(diǎn)。

②對于有一個角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn)。

③當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，此時(shí)內(nèi)心（三角平分線交點(diǎn)）與費(fèi)馬點(diǎn)重合。

2 費(fèi)馬點(diǎn)的作圖及證明

作圖：以三角形的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外面的三個頂點(diǎn)與原三角形的相對頂點(diǎn)分別相連，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn)（如圖1）。

證明：在△ABC內(nèi)找點(diǎn)P，使它到△ABC三個頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小。

解：如圖2，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△APC′，連接PP′，則△APP′為等邊三角形，即AP=AP′，PC=P′C′。所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′。只要當(dāng)B、P、P′、C′四點(diǎn)共線時(shí)，PP′+BP+P′C′的和最小，其值等于BC′的長（如圖3）。

當(dāng)點(diǎn)P滿足PA+PB+PC的和最小時(shí)，△APP′為等邊三角形，則∠APP′=∠AP′P=60°，有∠APB=120°，∠AP′C′=∠APC=120°，∠BPC=120°（如圖4）（符合結(jié)

論①）。

費(fèi)馬問題說明，在三角形內(nèi)存在一個點(diǎn)，它到三個頂點(diǎn)的距離之和最小，借助旋轉(zhuǎn)變換可說明。

3 費(fèi)馬點(diǎn)之應(yīng)用

例題：在研究學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”后，發(fā)現(xiàn)：△ABC內(nèi)總存在一點(diǎn)P到三個頂點(diǎn)的連線夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離和最小（費(fèi)馬點(diǎn)）。

探究：P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=∠BPC=120°。

證明：PA+PB+PC的和最小。

拓展：如圖5，△ABC中，AC=6、BC=8、∠ACB=30°，且點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)。求：PA+PB+PC的最小值。

證明：如圖4，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△AP′C′。顯然△APC，△A′P′C′。

且△APP′為正△，所以∠APP′=60°，∠APB=120°。

所以A、P、P′共線，又因?yàn)椤螦′P′C′=∠APC=120°，∠AP′P=60°，所以P、P′、C′共線。

所以B、P、P′、C′四點(diǎn)共線。所以PA+PB+PC=PP′+PB

+P′C′=BC′，即PA+PB+PC的和最小。

拓展：如圖5，將△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′CP′。

顯然①△APC≌△A′P′C，②等邊△PCP′，等邊△AA′C

若要PA+PB+PC最小，則B、P、P′、A′共線。即PA+PB+PC=PP′+PB+P′A′=BA′

又因?yàn)椤螦CB=30°，∠ACA′=60°，所以有Rt△A′CB，BA′=10。

“費(fèi)馬點(diǎn)問題”是在理解數(shù)學(xué)課標(biāo)的基礎(chǔ)上，把初中數(shù)學(xué)要掌握的重點(diǎn)基礎(chǔ)知識、基本解題方法進(jìn)行融合、滲透，真正體現(xiàn)增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力的目標(biāo)。

通過拓展知識的深度、寬度和廣度，鍛煉學(xué)生解題思維能力，在學(xué)生已經(jīng)解決的問題上深入挖掘，不僅能讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，同時(shí)也能讓學(xué)生學(xué)會融會貫通地運(yùn)用基礎(chǔ)知識，形成思維的發(fā)散性，靈活性，抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性。探究課外數(shù)學(xué)教學(xué)資源，并且科學(xué)地、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用，達(dá)到課內(nèi)外的融合。