核心探究提素養 環環相扣引思辨

唐凝

【摘 要】問題串教學的研究正被越來越多的高中教師所重視，如何才能有效的設置問題串來傳授數學概念，提升數學的核心素養呢？史寧中教授曾說過：“學習是學習者的活動，其他人是無法替代的?！睂W生通過課堂探究落實素養也絕非是簡單的記憶和模仿，更需要深度學習，感受數學的思維、數學的美。本文結合一節直線與橢圓的位置關系的復習課，探究如何引導學生通過問題串教學，幫助學生理解用代數的方式處理解析幾何中的幾何條件，體會數形結合的思想。

【關鍵詞】數學研究；核心素養

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0076-02

1 情境環節巧設問，環環相扣入佳境

問題引入：（改編人教A版選修2-1第49頁練習7）已知點C（2，0）和圓心為D的圓，M為圓上的動點，線段CM的垂直平分線交DM于點P，求點P的軌跡

方程。

師：動點M運動時，關于點P的幾何條件哪些是不變的呢？這里又存在哪些幾何條件是永遠不變的呢？

設計意圖：“本”立而“道”生，通過課本習題更易于學生喚醒舊知，讓學生思維活動漸進佳境。

生1：圓的半徑不變。

師：線段CM的垂直平分線交DM于點P，你得到什么幾何關系？不變的幾何關系？

生2：∣PM∣=∣PC∣，∣PM∣+∣PD∣=6，∴∣PC∣+∣PD∣=6

師：如果用代數的方式來表示幾何條件，∣PC∣+∣PD∣=6可以得到什么？

生3：根據距離公式可得

=6，化簡得到P的軌跡方程為。

設計意圖：通過兩個基礎問題引導學生體會點在曲線上運動時總保持某些不變的量，并能用代數的方式來轉化幾何條件，這也是解決解析幾何的核心數學思想。

2 核心探究致素養，環環相扣引思辨

問題一：從橢圓上一點P向軸作垂線，垂足恰好為左焦點F1，A是橢圓與軸正半軸的交點，B是橢圓與軸正半軸的交點，且AB//OP（O是坐標原點），則該橢圓的離心率是____。

設計意圖：通過前面的熱身，提出略有難度的問題可以激發學生探究的欲望，但同時還需通過層層遞進的問題串，讓學生在不僅感受數學思想，還可以在思維能力得到挑戰的同時，更好的從感性認識跨越到理性認識，逐步提升數學能力[1]。

師：在處理圓錐曲線的問題中，用什么樣的代數形式才能更好的表示幾何關系呢？我們來看問題一，問題一中存在一個什么樣的幾何條件？

生：AB//OP

師：這個幾何條件可以得到什么樣的代數形式呢？

生1：AB//OP可以得到△OPF1～△ABO

生2：AB//OP可以得到即

師：還有那些代數的方式可以表示AB//OP

生3：AB//OP可以得到

師：很好，大家因為平行想到了很多的方式，關鍵是用一個恰當的方式表示這個幾何關系，請大家分別探究一下。

生1：由△OPF1～△ABO可得，

生2：由，可得。

生3：因為AB//OP可以得到，即，

師：俗話說：“沒有對比就沒有傷害?！?，對于AB//OP這一條件的不同代數形式的轉化在計算上就已經產生了差別，若是更為復雜的條件，恰當的代數形式就顯得尤為重要。

設計意圖：通過層層遞進的問題串引導學生感悟如何將恰當的將幾何條件代數化，從而進一步體會解析幾何的核心方法是用代數方法研究幾何問題，解析法的核心思想就是數形結合。

問題二：已知橢圓，點P（0，1）和點都在橢圓上，直線PA交軸于點M，設O為原點，點B與點A關于軸對稱，直線PB交軸于點N

（圖1），問：軸上是否存在點Q，使得∠OQM=ONQ，若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

設計意圖：根據學生思維發展螺旋式遞進的課程理論，問題三是學生思維深度的延伸，學生如何有效化歸問題中的幾何條件，有效的幾何問題代數化才是能力形成的體現。

師：大家可以看到題目中提到∠OQM=ONQ，那這個題目中的幾何條件是什么？我們用什么樣的恰當的代數形式表示呢？它和那些代數知識聯系比較緊密呢？

生1：幾何條件是∠OQM=ONQ，我認為可以用相似

表示。

師：什么相似呢？

生2：△ONQ=△OQM

師：很好，由這個幾何條件，并對它的再研究，可以找到幾何條件的本質特征，相似的本質是什么呢？

生3：相似可以得到三角形邊的相似比，相似比就是一種代數形式。

師：好，大家再思考，什么樣的代數形式可以表示角的相等呢？

生4：我認為可以用三角函數來解tan∠ONM=tan∠OQM

師：就只能用正切嗎？

生5：其他的三角函數也可以。

師：還可以用什么來表示呢？想一想還學過哪些概念、公式含有角的呢？

生6：還可以用向量的夾角來表示，角相同，則夾角余弦值相同。。

師：非常好，大家想了很多辦法，我們再想想。我們說過數學中的美是無處不在的，如對稱美，我們解決數學問題就是尋找美的過程，我們來看，我們尋找N關于原點的對稱點N′，連接N′Q，由對稱∠N′QO=∠NQO，你能發現什么問題？

生7：因為∠N′QO=∠NQO，∠OQM=∠ONQ，∠OQN+∠ONQ=90°，所以∠N′QO+∠OQM=90°。

師：很好，通過對稱，這兩個角相等就轉化為垂直的關系，拿垂直的代數關系是什么呢？

生8：直線N′Q，OM斜率乘積等于-1。

師：回答的很好，大家可以發現同樣一個幾何條件，可以得到很多的代數形式，解題中就是要尋求什么樣的代數形式才能恰當的表示幾何關系，并有利于計算。

設計意圖：解題中一個幾何條件往往有多種代數轉化方式，何種才是最優選擇？教學中可以通過問題串來發散學生的思維，使其更加開闊。學生只有通過對比才能積累幾何條件合理代數化表示的經驗。

3 教學活動中的環環相扣策略

（1）課堂上，教師期待通過引導，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功，獲得發展。在設計互動環節，教師需要考慮到學生已掌握的學科核心知識，學科的本質及思想方法，借助環環相扣的設問使學生形成積極的內在學習動機，積極的情感、態度，正確的價值觀。

（2）情境問題的設置必須和本節課的學習目標相吻合，活動的各個環節符合課堂教學的內在邏輯[1]。教師在設計情境問題時應讓更多的學生參與到具有挑戰性的任務，同時也應考慮到學生個體的人格、認知差異結合學情因材施教，對學生予以指導性的建議。在深度學習目標評價方面，不僅要體現學生思考的結果，同時盡可能使得學生的思維可視化，讓學生的數學思維在碰撞中摩擦出智慧的火花。

（3）課程標準提出通過高中數學課程學習，學生應具有“四基”與“四能”。為達到這個目標，教師需要提高學生從數學角度發現和提出問題的能力。教學中教師的語言表達就很重要。激勵的話語，專業的數學語言表達有助于學生逐步學會從數學的角度去觀察生活，對一些數學現象進行數學思考，或在具體的情境中獲得一些新的數學信息，通過一定的梳理、概況、提煉，并以數學的方式做出“是什么？能怎樣？為什么？怎么樣？”等方面的思考。學生通過對數學問題的思考與探索可以拓寬其方法視角，提升思維品質，學生感受的不僅僅是信心倍增，也會碰撞出更多的思維火花[2]。

【參考文獻】

[1]王尚志.普通高中數學課程分析與實施策略[M].北京：北京師范大學出版社 ，2010.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017.