淺談導數在經濟分析中的應用

江顯英

(貴州省黔南民族職業技術學院 貴州 黔南 558000)

隨著市場經濟的發展，經濟的不斷繁榮，經濟活動中的實際問題將會愈加復雜，企業管理者對經濟分析的難度也隨之增大，簡單的分析已經不能滿足企業管理者對經濟分析的需求。為了解決這類問題，本文利用常用的經濟函數，結合一些實際問題，談談如何用導數來進行經濟活動分析。

1.導數的概念

函數在某一點的導數是一個常數，是函數增量與自變量增量之比的極限，它反映的是函數值隨自變量的變化快慢程度，即變化率，也被稱為瞬時變化率。

2.最值在經濟分析中的應用

在市場競爭中，廠商想要以價格優勢搶占市場份額，有時以產品的平均成本最低為目標而控制產量、這是確定平均成本的最小值問題，經營者的目的是為了追求最大利潤——利益最大化原則。

如，某旅行社組織海外旅行團，若每團人數不超過30人，飛機票每張收費2000元；若每團人數多于30人，則給予優惠，每增加1人，機票每張減少20元，直至每張機票降到1000元為止，每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費30000元，問每團人數為多少時，旅行社可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

這是一個關于最優化的問題，要解決這個問題，首先要建立相應的數學模型。目標函數是利潤函數，根據題目給定的條件，建立利潤與人數之間的函數關系，由于組團人數以30人為界，因此這里需要用分段函數來表示，要想使利潤最大，即要求利潤函數的最大值，而最大值只能在駐點處取得，因而問題轉化為求函數的導數、駐點以及駐點的函數值。

解：設以x表示每團人數，p表示飛機票的價格，因為(2000-1000)/20=50，所以每團人數最多為30+50=80人，因而每張飛機票的價格

旅行社的利潤函數L(x)為：

所以，當L′(x)=0，即x=65人時，利潤函數取得最大值，即每團65人時，旅行社可以獲得最大利潤，最大利潤是L(65)=54500(元)

3.彈性在經濟分析中的應用

邊際分析中考慮的函數增量與函數變化率是絕對增量與絕對變化率。實際上，僅僅研究函數的絕對增量與絕對變化率是不夠的。例如商品甲每單位產品價格為10元，漲價1元；商品乙每單位產品價格為1000元，也漲價1元，此時兩種商品價格的絕對增量都是1元，當與其原價格相比，兩者漲價的百分比卻有很大的不同，商品甲漲了10%，而商品乙漲了0.1%，由于兩者的漲幅差別較大，解決此類問題的有力工具無疑是函數的相對變化率——彈性。

下面列舉有關彈性的案例：

案例：有人說：氣候不好對農民不利，理由是農作物歉收，會減少農民的收入。又有人說，氣候不好反而對農民有利，理由是農作物歉收后其價格會上漲，因而會增加農民收入。應用經濟學原理對這兩種說法可進行如下解釋。氣候不好對農民是否有利，關鍵要看農民的總收入受氣候影響如何變動。顯然，氣候不好的直接影響是農作物歉收，即農產品的供給量減少，這表現為農產品供給曲線將向左上方移動。假設此時市場對農產品的需求量不發生變化，即需求曲線固定不動，那么農產品供給量減少將導致均衡價格上升。由于一般對農產品的需求缺乏彈性，根據需求的價格彈性與銷售總收入之間的關系可知，此時農民的總收入將隨著均衡價格的上升而增加。故在需求狀況不因氣候不好發生變化，并且對農產品需求缺乏彈性的情況下，氣候不好導致的農業歉收對農民增加收入是有利的。但是，若需求量也同時發生變化或需求是富有彈性，農民將不會因氣候不好而得到更多收入。由上述分析可知，對這一問題的回答應該首先對農產品的需求彈性及需求狀況做出假定，而不能籠統地下判斷。