試論線性代數學習障礙及解決策略

(山西廣播電視大學，山西 太原 030027)

《線性代數》課程是國家開放大學(原中央廣播電視大學)土木工程專業(本科)、水利水電專業(本科)統設必修課程《工程數學》的重要組成部分,在《工程數學》課程的終結性考核中占據相當重要的地位。由于數學課程具有高度的嚴謹性、抽象性的顯著特點,是人們普遍公認的難學課程,掌握起來具有一定的難度。好多學生一聽到數學兩字就感到發怵,還沒有進入學習就產生畏難情緒。所以在數學課程教學中,如何引導學生,克服畏難情緒,找到突破課程學習難點的金鑰匙就顯得尤為關鍵。那么破解《線性代數》課程學習的關鍵是什么?金鑰匙又在哪里呢?

經過多年的教學實踐,筆者認為,在教學中,如果教師能夠充分利用初等行變換在課程中的作用，就是突破《線性代數》課程學習的關鍵所在。根據學習遷移理論,學習遷移是指一種學習對另一種學習的影響,或習得的經驗對完成其他活動的影響。遷移廣泛存在于各種知識、技能與社會規范的學習中。在線性代數的學習中,初等行變換是存在于學習始終的一種變換方法,在線性代數學習的始終都在發揮著重要而無可替代的作用。因此,教師若能夠引導學生熟練地掌握初等行變換,能夠正確地理解相關概念,就能夠較好地完成本課程相關內容的學習。

在《線性代數》課程學習中,矩陣、方程組、矩陣的特征值及二次型是核心內容,在以上內容的學習中,逆矩陣的求法、矩陣的秩、高斯消元法解方程組及線性方程組的通解、向量組的極大無關組的確定、特征向量的確定都離不開初等行變換。而在行列式內容的學習中,我們常常用到的行列式的性質2、性質3、性質5與初等行變換有著異曲同工之處。所以熟練掌握初等行變換方法對《線性代數》課程的學習起著至關重要的作用。下面我們通過幾個典型問題來談談初等行變換在矩陣及線性方程組學習中的具體應用。

一、求逆矩陣問題

問題1:已知X=AX+B,其中

求X。

分析:由矩陣減法運算先求得I-A,之后用初等行變換法求I-A的逆矩陣(I-A)-1,最后X的值為(I-A)-1B。

解:

即

由矩陣乘法運算得

二、求矩陣秩的問題

問題2:求矩陣

的秩。

分析:首先對A進行運用初等行變換,使其化為階梯形矩陣,則階梯形矩陣的非零行的數目就是該矩陣的秩。

解:

所以,r(A)=2

三、高斯消元法解線性方程組

問題3:當λ取何值時,線性方程組

有解,在有解的情況下,求此方程組的一般解。

分析:首先對線性方程組的增廣矩陣[A?B]進行初等行變換,化為階梯形矩陣后,判斷λ的取值情況,進而求出該方程組的一般解。

解:

當r(A)=r([A?B])時方程組有解,所以當λ-1=0,即λ=1時此方程組有解。

此時方程組的一般解為:

(其中x3,x4為自由未知元)

四、線性方程組解的結構問題

問題4:求齊次線性方程組

的一個基礎解系和通解。

分析:這是一個典型的齊次線性方程組求通解問題,我們只要按照齊次線性方程組求解方法,先將系數矩陣經初等行變換化為階梯形矩陣,之后確定自由未知元,進而求出基礎解系和通解。

解:

由此知x3,x4為自由未知元。

令x3=1,x4=0,得相應的解向量為

令x3=0,x4=1,得相應的解向量為

所以,{X1,X2}為方程組的基礎解系。

該方程組的通解為:

X=k1X1+k2X2(其中k1,k2為任意常數)

問題5:設齊次線性方程組

μ為何值時,方程組有非零解?在有非零解時求其通解。

分析:本問題為齊次線性方程組求解問題。首先對所給定的齊次線性方程組判定何時有非零解。根據定理,當系數矩陣的秩小于方程組未知數個數時,齊次線性方程組有非零解。而現在的方程組,參數μ取值不同,方程組的解隨之不同。當參數的取值滿足系數矩陣的秩小于方程組未知數個數時,該方程組有非零解。

解:

當μ-5=0,即μ=5時,方程組有非零解。

x3為自由未知元,令x3=1,得x2=1,x1=1所以該方程組的基礎解系為

所以該方程組的通解為:

X=kX0(k為任意常數)

問題6:在線性方程組

中,

λ取何值時,此方程組有解?在有解的情況下求出通解。

分析:本題為非齊次線性方程組求解問題。首先對所給定的非齊次線性方程組判定何時有解。根據定理,當系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時,非齊次線性方程組有解。而現在的方程組,參數λ取值不同,方程組分為有解和無解兩種情況。當參數的取值滿足系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時,該方程組有解。我們還是先從初等行變換做起。

解:

所以,當λ+1=0,即λ=-1時,r(A)=r([A?B])=2,此時方程組有解。

x3為自由未知元,令x3=0,求得x2=1,x1=-2

方程組的特解為:

不計最后一列,令x3=1,求得x2=-1,x1=-1

方程組的基礎解系為:

所以該方程組的通解為:

X=kX1+X0(k為任意常數)

五、向量組極大無關組的確定

問題7:設向量組

求向量組的秩及其一個極大無關組。

分析:首先構造一個矩陣

用初等行變換把A化為階梯形矩陣。則非零行的數目就是向量組的秩,主元所在列對應的原來向量組就是極大無關組。

在教學中,學生主體作用發揮的程度取決于多種因素的影響,但起決定性作用的依然是教師。教師在教學中的引領作用發揮的好,學生的學習就可以少走彎路,比較好地掌握所學知識，否則學生的學習就會事倍功半。這就要求教師對教材有深入的研究,吃透教材,挖掘出教材當中對學生的學習起遷移引領作用的線索和知識點,促進學生學習的正遷移。