基于數學建模核心素養下的課本應用拓展題的思考

江蘇省海門中學

朱建軍 (郵編：226100)

數學源于生活，應用所學數學知識解決實際問題是能力與素養的具體表現．數學應用問題是江蘇數學高考的突出亮點，常以中檔題(17或18題)的形式呈現，具有良好的區分度，是高考的重點與熱點．本文將通過在2019屆的一次四大市調研測試中的應用題，介紹以平面幾何為載體的應用問題的思維路徑及解決辦法.

1 題目

(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離；

(2)現欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設BC與地面水平線l所成的角為θ．記拱門上的點到地面的最大距離為h，試用θ的函數表示h，并求出h的最大值.

圖1圖2圖3圖4

(第18題)

2 解決路徑

思路1 通過建立直角坐標系，利用三角函數的定義建立數學模型.

(1)如圖，過O作與地面垂直的直線交AB、CD于點O1、O2，交劣弧CD于點P，O1P的長即為拱門最高點到地面的距離．

答：拱門最高點到地面的距離為5m．

(2)在拱門放倒過程中，過點O作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點P．

當點P在劣弧CD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于圓O的半徑長與圓心O到地面距離之和；

當點P在線段AD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于點D到地面的距離．

由(1)知，在Rt△OO1B中，

以B為坐標原點，直線l為x軸，建立如圖所示的坐標系．

解題反思很多實際問題都與曲線有關(如直線、圓、拋物線以及由函數關系給出的曲線)，通常的處理方法是仔細審題，明確解題方向，根據題意，結合所給圖形的結構特征，建立直角坐標系，把要解決的問題放在坐標平面上使之與有關曲線相聯系，根據相關等量關系建立數學模型(函數模型、不等式模型等)，運用解析幾何的基本知識、思想和方法予以解決，此類問題還通常涉及確定最優解的點的位置.

思路2 通過討論點P在圓弧CD上的不同情況，建立三角形模型，借助解三角形、輔助角公式求出最值.

由(1)知，在Rt△OO1B中，

如圖，過點D作DE⊥l，垂足為E，過點C分別作DE、l的垂線，垂足為G、F．

所以h=DE=DG+CF．

在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

在Rt△CGD中，∠CDG=θ，

解題反思涉及平面圖形的數學應用問題，通常的處理方法是結合實際問題，明晰解題方向，結合所給平面圖形的結構特征以及相關性質，適當選取參數(如角、線段的長度等)，建立數學模型，運用所學的數學知識予以解決．

思路3 構建與思路2不同的三角形模型，優化解題過程.

此時拱門上的點到地面的最大距離為h=R+OE．

過O作OG⊥CF，垂足為G，則OE=GF，在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

此時拱門上的點到地面的最大距離為h=R+OE．

過C作CG⊥OE，垂足為G，則GE=CF．

在Rt△BFC中，CF=4sinθ．

3 追本溯源

本次調研測試中所考查的應用題改編自蘇教版必修四P125的“鏈接”.模型摘錄如下：

(2)矩形ABCD所在平面與地面垂直，A點在地面上，AB=a,BC=b,AB與地面成θ角(如圖所示).若記點C到地面的距離為h,試用θ的函數表示h,并求出h的最大值。

4 反思教學

4.1 《課程標準》強調發展和培養學生的數學應用意識.數學建模是提高核心素養的一種非常重要的形式，通過建模教學，可以提高學生邏輯思維和抽象思維能力，能真正培養學生分析問題、解決實際問題的能力.教學中教師一定讓學生真正經歷數學建模過程，運用數學的方法對材料加工分析，大膽地猜想和不斷地提出問題，從而激發學生興趣和熱情，進一步培養學生創新意識和創造才能.

4.2 重視教材的理解和挖掘.

課程標準規定了教育的內容.教材文本內容是課程標準內容的具體化，是教材編寫者們把自己對課程標準內容的解讀通過文本的方式呈現出來的方式之一，教材文本的內容也能體現教材編寫者們對課程標準理解的層次和深度.作為一線教師在研究課程標準的同時，更要解讀教材文本的內容，理解教材編寫者們的意圖，深入挖掘內涵與本質.也只有當我們真正地把握住了課標和教材的意圖，在教學的過程中就可以脫離教材文本的束縛，從而實現用教材教而不是教教材.

總之，數學源于生活，體現于生活，在應用問題的教學過程中，教師應當善于使用建模思想，引導學生將應用問題進行歸類，增強學生的建模能力，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，從而實現從數學知識的傳授走向數學核心素養的生成.