你若探究 花自盛開
——一道河南模考解析幾何題的探究

江蘇省南通市天星湖中學

錢 鵬 (郵編：226010)

解析幾何問題往往延續初中平面幾何中點、線段、直線以及平面幾何圖形等的關系，結合平面幾何的方法或坐標法來處理一些相應的問題，特別是一些相應的最值問題等，越來越成為命題者青睞的考點之一．特別，此類問題往往是創新的重要場所之一，通過巧妙設置來綜合應用．

1 問題呈現

【問題】(河南省中原名校2019屆高三第一次教學指導卷·15)已知線段|AB|=24，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為5，P為直線l上任意一點，則|AP|×|BP|的最小值為．

本題既有初中平面幾何的問題背景，又有高中解析幾何的問題定位，巧妙把初中平面幾何與高中解析幾何加以交匯，延續初中與高中數學知識的連續性與綜合性，具有一定的創新與綜合功能.

2 多維探究

探究1不同的問題切入視角會有不同的思考，對應不同的解法．那么，本題有哪些不同的解法呢？

圖1

解法1(坐標法)通過建立平面直角坐標系，引入坐標，利用點的坐標以及兩點間的距離公式來建立相應的兩線段的乘積|AP|×|BP|的坐標關系式，通過轉化，利用配方，結合二次函數的圖象與性質來確定相應的最值問題．

如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(-12，0)，B(12，0)，設P(x，5)(x∈R)，

則有|AP|×|BP|

圖2

解法2(三角法)通過作圖，利用三角函數的定義，結合|AB|=|AC|+|BC|引入對應的三角關系式，并通過三角恒等變換加以轉化，再利用兩線段的乘積|AP|×|BP|的三角關系式的變換，利用三角函數的圖象與性質來確定相應的最值問題．

如圖2，過點P作PC⊥AB交AB于點C，可知|PC|=5，

圖3

解法3(等面積法)通過三角形的面積公式，利用等面積法思維的轉化來建立相應的關系式，進而把兩線段的乘積|AP|×|BP|轉化為相應的三角關系式問題，利用三角函數的圖象與性質來確定相應的最值問題．

根據三角形的面積公式，可得

探究2將題中的有關兩線段的乘積|AP|×|BP|轉化為兩線段的和|AP|+|BP|或其他相關形式，回歸初中平面幾何知識，會得到怎樣的相關問題？

問題1已知線段|AB|=24，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為5，P為直線l上任意一點，則|AP|+|BP|的最小值為．

解析如圖，作點B關于直線l的對稱點C，則知|BP|=|CP|，而直線l∥AB，直線l⊥BC，

故填26．

問題2已經線段|AB|=24，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為5，P為直線l上任意一點，則△PAB的周長的最小值為．

探究3將題中的具體的線段長度和兩平行線間的距離抽象為一般情形，那么會有怎樣的結論呢？

解析如圖，作點B關于直線l的對稱點C，則知|BP|=|CP|，

而直線l∥AB，直線l⊥BC，則有AB⊥BC，

結論2已經線段|AB|=m，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為h，P為直線l上任意一點，則|AP|×|BP|的最小值為mh．

解析根據三角形的面積公式可得

通過探究，進行一題多解、一題多變等的拓展與應用，使得學生通過解一道解析幾何最值的模擬題，達到解一組數學題、一類數學題的目的，復習總結了數學知識，又提升了數學能力，為學生養成良好的思維方法做了有益的嘗試．美國著名數學家哈爾莫斯曾說過：“問題是數學的心臟”．對學生來說，如何確定解題思維，把問題歸結到同一個熟悉的“問題”來處理是關鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應萬變，熟練解決問題．