對一道安慶“二模”試題的異議

安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué)

朱賢良 (郵編：246700)

2019年3月21-22日，是安慶市高三“二模”考試時間．由于命題細(xì)致考究(安慶“二模”有專門的命題組)、參考學(xué)生眾多(整個安慶地區(qū)及周邊市縣的部分高三學(xué)生參加考試)、時間節(jié)點(diǎn)恰當(dāng)(一輪復(fù)習(xí)即將結(jié)束、二輪復(fù)習(xí)即將開始)等原因，其考試成績具有重要的分析與參考價值，因此每年的安慶“二模”都備受重視．理科數(shù)學(xué)第12題引起了筆者的關(guān)注與思考．

1 試題與參考答案

題目(2019年安慶“二模”·理12)若函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)的定義域與值域都是[m,n](m

A．(1,+∞) B．(e,+∞)

參考答案函數(shù)f(x)=logax的定義域與值域相同等價于方程logax=x有兩個不同的實(shí)數(shù)解．

圖1

2 圖象法另解

圖2

3 被遺忘的情形

不難發(fā)現(xiàn)，上述兩種解法實(shí)際上都是建立在“a>1”這一前提下的，其本質(zhì)是研究a>1時，y=logax與y=x的交點(diǎn)個數(shù)問題，也就是函數(shù)y=ax與y=logax的交點(diǎn)個數(shù)問題．而未對“0

即m=an=logan．同理可得n=am=logam．問題歸結(jié)為方程ax=logax的兩個不等實(shí)根m、n，即曲線y=ax與y=logax至少存在兩個不同交點(diǎn)(注意：由于m=an=loganm，故此兩個交點(diǎn)均不在直線y=x上)．

圖3

圖4

同底的指、對數(shù)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題是一個極易犯錯的問題，其研究與分析在中學(xué)數(shù)學(xué)期刊上并不鮮見．許多師生認(rèn)為0

事實(shí)真的如此嗎？借助畫圖軟件，繪制了底數(shù)a=0.02時的函數(shù)y=ax與y=logax的圖象，如圖4所示．根據(jù)圖象可以看出，y=0.02x與y=log0.02x的圖象共有三個交點(diǎn)，其中有兩個交點(diǎn)(0.0315,0.8842)與(0.8842,0.0315)(橫、縱坐標(biāo)為四舍五入后的近似值)不在直線y=x上，即函數(shù)f(x)=log0.02x在區(qū)間(0.0315,0.8842)上的值域也是(0.0315,0.8842)．再以底數(shù)a=0.001為例繪制函數(shù)圖象(圖5)，函數(shù)f(x)=log0.001x在區(qū)間(0.0011,0.9928)上的值域還是(0.0011,0.9928)．

圖5

因此，本題的四個選項(xiàng)均不正確，其根源在于對同底數(shù)的指、對數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)存在錯誤的認(rèn)知．

4 正解