基于運動觀點 把握折疊問題本質

安徽省宣城市郎溪縣教研室

劉自珍 (郵編：242100)

1 問題的提出

《初中數學教與學》2017年第10期刊登了《山重水復疑無路 柳暗花明又一村》(后稱“文[1]”)一文，作者對2016年徐州市一道中考試題(正方形折疊問題)展開課堂教學的探究，挖掘出試題的背景，提煉出求正方形折痕長度的蹊徑再推廣到求矩形折痕的一般形式.筆者讀后受益匪淺，同時認為在解決圖形翻折問題時要抓住翻折前后圖形的整體特征，抓住翻折問題的核心思想方法，本文在此前提下用運動變化的觀點展開探究，卻也別有一番洞天.

圖1

圖2

原題已知，如圖1，將邊長為6的正方形ABCD對折，折痕為EF，展開后再將點B折到CD邊上的M處，使邊AB過點E，折痕為GH，點A的對應點為N.

(1)若CM=x，則CH=(用含有x的代數式表示)；

(2)求折痕GH的長度.

2 翻折問題的核心思想及通法

翻折問題的特點：(1)翻折變換是一種軸對稱變換，折痕是對稱軸，折痕兩側為全等圖形；(2)翻折問題常常伴有直角三角形、中垂線、相似三角形等內容；(3)翻折后生成的圖形與原圖形構成的圖形中有一些特殊的基本圖形；(4)翻折變換是一個動態的過程.

翻折問題的核心思想與方法：翻折前后有“變與不變”的規律，方程與函數的思想；

由于翻折問題有著其典型的特征，解題時我們應該著力尋找思考問題和解決問題的通法，這樣才能觸類旁通、舉一反三.

本題通法的思維框圖如下[1]

第一次對折：

第二次翻折：

通法解析

圖3

3 基于運動變化的觀點展開探究

因為點B折到CD邊上的M處，折痕為GH，故可看作是點M在線段CD上移動，導致折痕GH的位置不斷地變化及圖中的Rt△MDE、Rt△HCM及梯形NGHM的形狀都在變化，在變化中是否蘊含某些不變的關系呢？在變化中線段的長短、幾何圖形的周長、面積是否有內在的變化規律呢？

3.1 點M在線段CD上移動時，探究點、線的特殊位置關系

圖4

圖5

(1)本題只是M點在線段CD上移動時線段MN過點E的特殊情況，還有許多特殊情況如點M為線段CD的中點，點H為線段FC的中點等；

(2)連接BM,無論M點在線段CD上什么位置，則線段GH、BM、EF三線共點P，且0≤PF≤3，如圖4、圖5；(易證)

3.2 點M在線段CD上移動(點M不與點C、D重合)時，探究幾何圖形的內在聯系

(3)設線段MN交線段AD于Q點，則Rt△GNQ∽Rt△MDQ∽Rt△HCM;(易證)

(4)設線段MN交線段AD于Q點，無論M點在線段CD上什么位置(C、D點除外)，△QDM的周長為定值(正方形ABCD邊長的2倍).

圖6

因為Rt△HCM∽Rt△MDQ，

(6)在線段CD上不存在一點M，使得Rt△GNQ、Rt△MDQ、Rt△HCM中任何兩個三角形全等;

(x-2a)(x+6a)=0，x1=2a,x2=-6a.(兩根均要舍去)

(2a-x)(-x-2a)=0,x1=2a,x2=-2a.(兩根均要舍去)

故Rt△HCM、Rt△MDQ、Rt△GNQ三個直角三角形彼此相似，但彼此不全等.

3.3 點M在線段CD上移動時，探究圖形線段的內在聯系

(7)連接BM,無論M點在線段CD上什么位置，則線段BM=GH.“文[1]”已證;

(8)當點M從C點向D點移動時，線段AG長在減小，但線段BH長度在增加，意味著MC∶DM(或者說MC∶CD)的值與BH∶AG的值有一定的聯系.

翻折問題是中考試題的常見題型，如矩形的折疊、正方形的折疊、三角形的折疊、圓的折疊等，在解決這一類折疊問題時，要把握翻折變換的核心思想，注意觀察折疊前后的有哪些不變的量，研究折疊后有哪些新的基本圖形及解決這些基本圖形有哪些常用的思想方法，在平時的解題中，可以對某一題進行縱向深入研究，如：探究求折痕長度的辦法有哪些？也可以對題目進行橫向研究，如本文用運動的觀點研究點、線的特殊位置關系和特殊圖形的內在聯系等.