一道最大張角問題的另類視角

陜西師范大學萬科中學

劉繼科 (郵編：710062)

陜西中考的壓軸題承載著選拔的功能，思維的嚴密性，深入性等往往一題分高下.其中有一些常見的類型，也讓眾多師生去研究去追求.本文的最大張角問題就是其中的一種類型.

1 試題呈現

圖2

圖3

(1)如圖1，請在正方形ABCD內畫出一個以點C為頂點、BC為腰長的等腰三角形CBP；(用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)如圖2，在平面直角坐標系中，已知A(2,0)、B(8,0)，點P是y軸正半軸上一個動點，當∠APB最大時，求點P的坐標；

場所保衛人員想在線段OD的一點M處安裝監控裝置，用來監控OC上的AB段，為了讓監控效果達到最佳，必須要求∠AMB最大，請問在線段OD上是否存在這樣的一點M？若存在，請求出此時OM的長和∠AMB的度數；若不存在，請說明利用.

2 探尋背景 解法啟示

張角最大問題又稱米勒問題.米勒，德國數學家，對三角學做出了巨大貢獻，是斐波那契以來歐洲最有影響力的數學家，米勒在1953年發表的著作《三角全書》中討論到一個新穎的極值問題——張角最大問題.

圖4

解法展示(1)(2)較為簡單，在此省略.

(3)假設存在這樣的圓N與直線相切于點M,則NM⊥OD于點M,延長MN交OC于點E.如圖5.

(垂徑定理)

圖5

此時∠O=60°，∠OME=90°，

所以∠MEO=30°，

3 反思解法 正難則反

假定有一個過A、B且與OD相切于點M的圓N，則NA=NM，又NM=NA,且NM⊥OD于點M，看著圖形直覺認為四邊形GANM是正方形，但又無法證明，思維受阻.解題學中有一種思維方法叫做正難則反，當從問題的正面去思考的時候遇到阻力難以繼續時，可通過逆向思維，從問題的反面去出發，反向思維往往能使人茅塞頓開，獲得意想不到的效果.此時，我們在假定圓的基礎上想說明四邊形GANM是正方形，證明不了，不妨先構造一個正方形，再證明存在圓，存在相切.

圖6

如圖6，以AB為邊構造等邊△NAB，作NM⊥OD于M.

因為∠OAG=30°，∠NAB=60°,

則∠NAG=90°，

又AG⊥OD,NM⊥OD，

則四邊形GANM為矩形.

所以四邊形GANM為矩形.

即NM為以N為圓心，AN為半徑的圓的半徑.

故直線OD相切于圓N于點M，

此種解法簡單易懂，一氣呵成，渾然天成，讓人不禁贊嘆出題老師的智慧.

4 簡潔為真 思考提升

數學中的數學思想方法包括數形結合，類比，分類討論，轉化化歸等，正難則反相對來說用的較少，但是往往在我們無法解決問題，遇到困難時，正難則反就會幫助我們擺脫困境，讓我們心悅誠服.數學中的反證法就是正難則反最好的例子，例如兩直線平行，同位角相等的證明.在研究數學的過程當中，思考并努力探尋數學的本質、順序和聯系，才能逐漸靠近數學的真諦.