高考立體幾何解答題復習的深度思考

浙江省慈溪實驗高級中學

許建芳 (郵編：315300)

數學家波利亞在《數學與猜想》中提到：“數學有兩個側面……用歐幾里得的方式提出來的數學是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學.”不同的推理形式有不同的特點和功能，要注意他們之間的有機融合.通過立體幾何的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題：能夠在比較復雜的情景中把握事物發展的脈絡；形成重論據、有條理、合邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力.通過立體幾何的學習，學生能提升數形結合，發展幾何直觀和空間想象能力；形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質.立體幾何是高中數學的重點，也是高考命題的熱點，分析歷年高考的立體幾何解答題，這就要求在課堂教學中要提升學生的直觀想象和邏輯推理的核心素養.

(Ⅰ)證明：DE⊥平面ACD；

(Ⅱ)求二面角B-AD-E的大小.

圖1

圖2

設平面ADE的法向量為m=(x1,y1,z1)，平面ABD的法向量為n=(x2,y2,z2)，

如果我們的課堂教學只關注學生能否解決此問題和學生解題的速度和正確率，長此以往，學生往往為了解題而解題，因為手上的題目很多，要做的就是趕緊把題目都解答出來.在這樣的壓力下，學生會按照最熟悉的路徑去執行，用最熟練的方式去解決問題——簡而言之，就是路徑依賴.因為只有這樣，才能快速騰出手來，去做下一個題目.慢慢的，學生會開始感覺到，沒有時間去深入思考.

這會導致學生在自己熟悉的領域，變得越來越熟練，但從來沒有真正突破原有的水平，只是成為了一個解題機器，并沒有提高素養，其視野很狹窄.只是在解題的時候，一味追求快速解題，讓自己像齒輪一樣跑起來，讓解題走在思維前面——經過長時間的強化，所固化下來的結果.

這種模式，本質上，是無法真正提升核心素養的.因為學生只是一直在重復演練.在這種情況下，邊際效用是非常低的，這就是課堂效率低下的癥結所在.只有從多視角去看待問題，思考解決此問題的不同方法，講明用這種方法解決問題的緣由，才能提高學生的核心素養.

方法二(定義法)：作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連結BG，由(Ⅰ)知，DE⊥AD，則FG⊥AD，

圖3

所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BD2+BC2，得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB.

圖4

圖5

方法四(三垂線法)：由(1)知BD⊥BC，所以BD⊥平面ABC.

所以平面ABD⊥平面ABC，取AB的中點M，所以CM⊥平面ABD.

延長DE至F，使得DE=EF，則DC=DF.故點F與點C到平面ABD的距離相等.

圖6

方法五(面積射影法)：取DC的中點H，則BH⊥平面ADC，設二面角B-AD-C的平面角為θ，

方法六(三面角余弦定理)：

設α=∠BDE,β=∠ADB,γ=∠EDB，二面角B-AD-C的平面角為θ.

方法一(坐標法)因為此題有面面垂直的條件，由面面垂直的性質定理可以做出面的垂線，故較易想到建立空間直角坐標系，用坐標法解決此問題.方法二(定義法)分析構成兩個半平面的幾何圖形的幾何特征，過公共棱上的一點在兩個半平面內分別作出與公共棱垂直的直線，這樣就得到了二面角的平面角，此法就是用定義法作出二面角的平面角.方法三(三垂線法)用三垂線法作出二面角的平面角，先要找到其中一個平面的垂線，這樣就可以做出二面角的平面角.方法四(三垂線法)在法三的基礎上，利用“直線與平面相交，若平面兩側的斜線段長相等，則垂線段長相等”這一幾何直觀，不需要作出二面角的平面角，就能解決問題，從而簡化解題過程.方法五(面積射影法)與方法六(三面角余弦定理)為解決二面角的平面角提供了不同的解題思路.尤其在一些二面角的難題中，當其他方法無效時，不妨用這兩種方法去嘗試一下.在選擇填空中，可以不作出二面角的平面角，就能較快地得到答案，起到事半功倍的效果.

我覺得立體幾何的教學中要遵循以下三原則：在直觀感知和操作確認的基礎上建構空間想象；在思辨論證和度量計算的基礎上培養邏輯推理；在深度學習和深度思考的基礎上提升核心素養.

教師在教學中要有鉆研精神，遇到問題不能淺嘗輒止，應該考慮其他各種解法，解法是否具有通性通法，通過一題多解，幫助學生建構起知識網絡，更好地掌握解決問題的思路.教師在此過程中要引導學生分析不同解決思路的異同，通過一個問題徹底理解一類問題，讓學生在掌握基礎知識和基礎技能的同時，感悟基本思想方法，積累基本活動經驗，提升和發展學生的數學核心素養.