一道競賽題的變式與推廣

合肥師范學院數學與統計學院

陳 超 王家正 (郵編：230601)

變式與推廣是中學數學教學中常采用的方法之一．對于數學問題，通過變式與推廣，可滲透數學的基本思想，可以有效地鍛煉學生數學思維能力，培養學生的創造性思維．因此對于數學問題的變式與推廣，是對學生進行思維訓練的有效工具，有利于提升學生的數學核心素養，提高學生學習數學的興趣和效率．

本文結合一道競賽題，探討數學問題的變式與推廣策略，以供參考．

1 問題的呈現

(1985年廣州、 武漢、 福州初中數學聯賽試題)△ABC的面積是其內接矩形PQRS面積的3倍，并且邊BC和高AD的值是有理數，問：PQRS的周長的值在什么情況下是有理數？在什么情況下是無理數？

①

②

又由題意知a、b本身是有理數，故當a=b時，矩形PQRS的周長的值是有理數；當a≠b時，矩形PQRS的周長的值是無理數．

2 變式與推廣

這道題涉及到的主要知識點是滬科版數學教材八年級下冊中“韋達定理及其逆定理”的應用．為了更深入地研究這道題，訓練學生思維能力，下面對這道題進行變式與推廣．

變式1 若將題目條件中的“3倍”改為“2倍”，其他條件不變，會得到什么結果？

③

④

于是矩形PQRS的周長2(x+y)=a+b．

又由題意知a、b本身是有理數，故矩形PQRS周長的值在任何情況下均為有理數．

變式2 △ABC的面積是其內接矩形PQRS面積的4倍，并且邊BC和高AD的值是有理數，問：PQRS的周長的值在什么情況下是有理數？在什么情況下是無理數？

⑤

⑥

又由題意知a、b本身是有理數，故當a=b時，矩形PQRS的周長的值是有理數；當a≠b時，矩形PQRS的周長的值是無理數．

通過對原題和變式的分析思考，下面我們嘗試將它推廣，探究其一般性結論．

推廣若改成“△ABC的面積是其內接矩形PQRS面積的k倍”，其他條件不變，能得到什么一般性結論呢？

⑦

⑧

所以由題意知a、b本身是有理數，故當a=b時，矩形PQRS的周長的值是有理數；當a≠b時，矩形PQRS的周長的值是無理數．

所以由題意知a、b本身是有理數，故當a=b時，矩形PQRS的周長的值是有理數；當a≠b時，矩形PQRS的周長的值是無理數．

所以由題意知a、b本身是有理數，則

①當m、p、n-m三者為勾股數時，矩形PQRS周長的值在任何情況下均為有理數；

②當m、p、n-m三者不為勾股數時，有當a=b時，矩形PQRS的周長的值是有理數；當a≠b時，矩形PQRS的周長的值是無理數．

3 啟示與思考

很多數學題目，特別是競賽題、高考題、中考題，都蘊含著較大的潛在價值．如就題論題，就失去了培養學生思維能力的機會；如果講解題目后，再對題目進行類比、一般化，挖掘題目所蘊含的數學思想與方法，從不同角度對題目進行變式與推廣，將會有助于優化學生的認知結構，對發展學生的數學思維能力、提高學生的創新意識都大有裨益．通過本文的探討，得到以下兩點啟示．

第一，要注重對題目進行深度的挖掘．在教學過程中，教師要關注到題目潛在的價值，注重引導學生對題目進行深度挖掘，以此培養學生思維的深度和廣度, 幫助學生進一步認識題目及其解法的本質, 使學生見到類似題目能夠舉一反三, 不斷提高學生的數學解題能力．

第二，要注重對題目進行反思與拓展．解題不能僅僅停留在題目的表面，反思與拓展是數學解題過程中一個非常重要的環節．通過對題目進行反思，學生對解題過程中所運用的知識、方法、解題技巧等進行系統回顧，從中發現不足之處；對題目進行拓展，幫助學生從多角度探究問題，在鞏固所學知識的同時，鍛煉學生的數學思維能力，培養學生的創新意識．