圓錐曲線定點弦的一個有趣性質

廣東省佛山市榮山中學

李燕高 (郵編：528000)

文[1]給出圓錐曲線焦點弦的一個有趣性質，筆者經過探索將其推廣為一般圓錐曲線定點弦的性質，并發現由該性質可導出其它圓錐曲線的一些性質．

圖1

定理1 如圖1，給定圓錐曲線Γ：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，過曲線Γ外的定點P(m,n)作曲線Γ兩條切線PA、PB，其切點為A、B，動點Q在直線AB上，過定點P的動直線交曲線Γ于P1、P2，記直線QP1、QP、QP2到直線AB的角分別為θ1、θ2、θ3，則cotθ1、cotθ2、cotθ3成等差數列．

平移坐標系，使得坐標原點移到點P，則在新坐標系中，P(0,0)，二次曲線Γ：Ax2+Cy2+D1x+E1y+F1=0，直線AB：D1x+E1y+2F1=0(其中D1=2Am+D，E1=2Cn+E，F1=Am2+Cn2+Dm+En+F)；設P1(x3,y3)、P2(x4,y4)；

所以cotθ1+cotθ3=

故cotθ1+cotθ3=2cotθ2．

當直線P1P2垂直x軸時，可得cotθ1+cotθ3=2cotθ2．

所以定理1成立．

特別地，當點P為焦點時，推論1就是文[1]中的定理．

圖2

在定理1及定理2中，如圖2，過點P作直線AB(或l)的垂線，記垂足為T，當點Q與點T重合時，θ2=900，則cotθ1=-cotθ3，得θ1=-θ3，所以直線PT、直線TP1的夾角與直線PT、直線TP2的夾角相等．所以有：

當P在二次曲線Γ的對稱軸上時，由推論3及二次曲線的對稱性就可得文[2]、[3]、[4]的結論．