需要添加輔助線求解嗎？

江蘇省南京金陵中學河西分校

李玉榮 (郵編：210019)

問題(2017武漢)如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC,CO的延長線交AB于點D．

(1)求證：AO平分∠BAC；

圖1

解法1(1)如圖1，延長AO交BC于點H，連接OB,

因為AC=AB，OB=OC，所以點A、O在BC的垂直平分線上，

所以OA⊥BC，又AC=AB，所以AO平分∠BAC；

圖2

所以AH=AO+OH=9，

由(1)知，∠BAH=∠CAH，

設DK=3a，則AK=9a，

此題的難點是求CD的長，類似的，先給出求CD的第2種解法：

圖3

解法2如圖3，作DK⊥BC于點K，

評注這兩種解法添加的輔助線為DK⊥AH(DK⊥BC)，從本質上看是DK∥BC(DK∥AH)構造“A型”或“X型”相似三角形，但圖中的點D是“未定點”(AD、BD、OD、CD均為未知數)，且所添的輔助線破壞了已知的AO(BH)，導致解題過程較為復雜，為何不從另外的五點A、B、H、C、O添加輔助線入手呢？

圖4

解法3如圖4，延長CO交⊙O于點K，連接BK，則BK=2OH=8，且BK∥AH，

圖5

圖6

圖7

解法6如圖7，作AK∥DC交BC延長線于點K，因為AK∥OC，所以△AHK∽△OHC，

因為AK∥DC，所以△ABK∽△DBC，

圖8

解法7如圖8，作OK∥BC交AB于點K，

因為OK∥BH，所以△AOK∽△ABH，

因為OK∥BC，所以△DOK∽△DBC，所以

圖9

解法8如圖9，作OK∥AB交BC于點K，

因為OK∥AB，所以△HOK∽△HAB，

因為OK∥BD，所以△COK∽△CDB，

圖10

解法9如圖10，作HK∥CD交AB于點K，

因為HK∥DO，所以△ADO∽△AKH，

所以△HKB∽△CDB，

圖11

解法10如圖11，作HK∥AB交CD于點K，

因為HK∥BD，所以△HKC∽△BDC，

圖12

解法11如圖12，作CK∥AB交AH延長線于點K，顯然△BHA≌△CHK(AAS)，所以HK=AH=9，

圖13

解法12如圖13，作CK∥AH交BA延長線于點K，因為AH∥CK，所以△ABH∽△KBC，

圖14

圖15

解法13如圖15，由(1)知∠DAO=∠OAC，

因為OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，

所以∠DAO=∠OCA，又∠ADO=∠CDA，

評注此解法依托第(1)問的中介作用，揭示了命題中的條件與隱含條件，為尋求解題途徑指明了方向，無需添加輔助線，使解決問題的方法簡單流暢、別具一格，達到了化繁為簡、化難為易的目的，而且還可以開拓學生的思維，對學生學習興趣的培養也大有裨益．

中考試題都是經過命題專家在課標、教材的指引下精心設計的，只有深入其中去思考、去體會、去研究，才會發現其引導功能和教學價值．在日常教學中，教師若能選取類似本文提到的這樣的試題，留給學生足夠的思考時間，提供給學生展示自己想法的機會，并組織學生對不同思路進行適當的比較和討論，學生就能自然地把題目涉及到的基本圖形的相關性質等相關知識加以聯系，構建成一個整體，達到靈活應用數學知識的程度．