關于Gordon不等式的加強

山東省威海職業學院藝術設計系

姜衛東 (郵編：264210)

本文約定: △ABC三邊長分別為a、b、c,面積為△，s、R、r分別表示△ABC的半周長,外接圓半徑和內切圓半徑.

在△ABC中，有不等式

①

這是著名的Weisenbock不等式[1].

①已有很多種形式的加強，其中最著名的是費-哈不等式

②

1966年，Gordon給出了如下不等式

③

注意到文[2]已給出③的如下加強

bc+ca+ab≥18Rr

④

本文主要討論③和④的加強問題.

1 Bencze公開問題的解決

考慮到④的加強，最近，羅馬尼亞的M. Bencze在[3]中提出如下的公開問題：

OQ5302在△ABC中，求最佳的λ，使下面不等式成立.

bc+ca+ab≥18Rr+λ[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]

⑤

下面給出⑤的解答.

由abc=4Rrs,a+b+c=2s,

可知，⑤等價于

⑥

設a=b=1,c=x,則易知0

定理1 在在△ABC中，有

⑦

證明由三角形中熟知的恒等式

bc+ca+ab=s2+4Rr+r2,

∑a2=2(s2-4Rr-r2),

⑦等價于s2≥16Rr-5r2.

這就是Gerretsen不等式，從而⑦成立.

2 安振平的一個不等式的最優化加強

最近，安振平老師在其新浪博客中提出了③的另一種加強[4]：

問題4585在△ABC中，有

⑧

由⑧的形式，一個很自然的問題是：求使下式成立的最大的k:

⑨

簡單的計算可知，上式等價于

⑩

則⑩變形為

○11

定理2在△ABC中，有

○12

證明由三角形中熟知的恒等式

bc+ca+ab=s2+4Rr+r2,△=rs.

可知○12 等價于

(s2+4Rr+r2)2≥25Rrs2-2r2s2,即

H(s2)=s4-(17Rr-4r2)s2

○13

由已知的不等式(見[1]的5.9和5.10)

s2≥f(R,r)≥16Rr-5r2.其中

2(16Rr-5r2)-(17Rr-4r2)=15Rr-6r2>0.

從而有

最后一步由歐拉不等式R≥2r可知，從而定理2成立.

特別的，在⑨中令k=2,即得⑧.